e yetti artik.

[Mikro Step]

[math](\frac{n+1}{n})^n[/math]
Boyle bir ifadeyi kafanizda canlandirin,

n, sayisina 1 ekleyip sonucu n sayisina boluyoruz. Cikan sonucu da kendisi ile n kez carpiyoruz.

Eger n yeterince buyuk bir sayi alinirsa bu islemin sonucunun yaklasik olarak e sayisi oldugunu ispatlayin.

 

[asicocuk34]

e sayısı neyin nesi?

 

[asicocuk34]

amaç ne?

 

[clc]

Zaten ilk başta bernoulli faiz problemi çözerken verdiğiniz şekilde tanımlıyor, n sonsuza giderken çıkan irrasyonel sayıya e diyoruz. Sonradan euler, e ile ifade etmeye başlıyor sayıyı.

Yine de bir ipucu vereyim yapacaklar için, binom açılımı uygulayınca sorun kolaylaşacak. Zaten e nin bir gösterimi vardır 1+1+1/2! diye başlar o buradan geliyor.

 

[asicocuk34]

size kolay gelsin o zaman

 

[nt]

size kolay gelsin o zaman

konu "limitler" örnek 0/0 veya sonsuz/sonsuz

vscode varmı? indir iki dk bu kodu yapıştır değerleri değiştir run de

import math

def limit_test(n):
    sonuc = (n + 1) ** (1/n) ** n
    return sonuc

buyuk_n = 1000000
limit_sonuc = limit_test(buyuk_n)
e_sayisi = math.e

print(f"Limit Sonucu: {limit_sonuc}")
print(f"e Sayısı: {e_sayisi}")

Limit Sonucu: 1.0
e Sayısı: 2.718281828459045

 

[clc]

n yerine 10^6 koyunca en az 4-5 digit yakınsıyor e ye, 1 çıkmıyor zaten 1 den büyük bir sayının 1 ve birden büyük kuvvetleri de 1 den büyüktür.

 

[Mikro Step]

e sayisi dedigimiz 2.718...... irasyonel sayi bir kac yerde karsimiza cikinca buna isim verme ihtiyaci duyulmus. Aynen pi sayisinda oldugu gibi.

e sayisi 2.71828182845905

1+1+1/2+1/6+1/24+/120+1/720+1/5040+1/40320 =2.71827876984127 (8 terim icin)

[math](\frac{10^6+1}{10^6})^{10^6}[/math] (n=10^6 icin)
=2.71828046931938

e sayisi ile karsilastigimiz diger durumlari da yazmaya devam edelim.

 

[Mikro Step]

[math] y=\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n[/math]
Bu cok meshur bir limit.

Bu limitin ln'ine bakalim.

[math]ln( y)=ln(\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n)[/math][math]ln( y)=ln(\lim_{x\to 0} (1+x)^\frac{1}{x})[/math][math]ln( y)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}ln(1+x)=\lim_{\Delta{x}\to 0}\frac{ln(1+\Delta{x})-ln(1)}{\Delta{x}}[/math][math]ln( y)=\frac{d}{dx}ln(x)|_{x=1}=\frac{1}{x}|_{x=1}[/math][math]ln( y)=1[/math]
[math] y=e[/math]
Meshur limitimiz e sayisi imis.

 

[clc]

Bu meshur limit zaten faiz olayından gelen limit değil miydi?

 

[Mikro Step]

Konunun baslangicinda verdigim limit.

 

[deneyci]

Ahmet 5 yaşında iken Ali 10 yaşında olsun.
Ali'nin yaşını Ahmet yaşına bölünce 2 sayısını buluyoruz.
Yaşları sonsuza yaklaşırsa bölüm kaç olur?

 

[Mikro Step]

Sonsuz/Sonsuz belirsizligi olsa da su anda A/B=2 ise sonsuz sene sonra da oran iki olacaktir.

[math] Oran=\lim_{n\to\infty} \frac{n*A}{n*B}=\lim_{n\to\infty}\frac{A}{B}=\frac{A}{B}=2[/math]

 

[deneyci]

Sonsuz/Sonsuz belirsizligi olsa da su anda A/B=2 ise sonsuz sene sonra da oran iki olacaktir.

[math] Oran=\lim_{n\to\infty} \frac{n*A}{n*B}=\lim_{n\to\infty}\frac{A}{B}=\frac{A}{B}=2[/math]

n çarpılmayacak toplanacak.

 

[Mikro Step]

Evet haklisin

Su anda A yasinda ise 1 sene sonra A+1, 2 sene sonra A+2 sonsuz sene sonra da A+sonsuz olacak.

[math] Oran=\lim_{n\to\infty} \frac{n+A}{n+B}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{A}{n}}{1+\frac{B}{n}}=1[/math]