Lineer (Dogrusal) sistemler - 1

[Mikro Step]

Her ne kadar youtube da bu konuda cok sayida anlatim olsa da forumda da deginelim.

Kontrol teori'ye girisin ilk konularindan birisi sistemlerin lineer olup olmadiginin anlasilmasi konusudur.
Zira klasik kontrol teoride sadece lineer sistemler ele alinir.

Bir sistemin lineer olup olmadigi nasil anlasilir?

Bunun icin sistemin iki sarti saglamasi gerekir.

Ilk sart olceklenebilir olmalidir.

Bu ne demek?

Cikis y, giris e ise y ile e arasinda bir f fonksiyonu olsun.

[math]y=f(e)[/math]
eger e=k*e icin cikis ta k*y oluyorsa olceklenebilir.

Ornegin girise 1v uyguladigimizda cikistan 5v aliyorsak, olceklenebilir bir sistemde girise 2v uyguladigimizda cikistan 10v almaliyiz.

Bu sartin gerceklenmesi yeterli degil. Bir de superpozisyon (toplamlanabilirlik) sartini gerceklesmesi gerekir.

Toplamlanabilirlik.

Bir sistemin girisine a girildiginde cikistan y1 degeri alalim.
Girise bu kez b girisi uyguladigimizda cikistan y2 degeri alalim.

Eger girise a+b uygularsak cikisyan y1+y2 degerini almaliyiz.

Sistem bu sarti da gercekliyorsa sistemimiz lineer sistem demektir.

 

[Mikro Step]

Iki ornek yapalim. Birincisi lineer bir sistem olsun.

Ornegin x10 kazancli bir devremiz olsun

girise 100mV uyguladigimizda cikis 1000mV
girise 500mV uyguladigimizda cikis 5000mV verecektir.

yani girise 100mV verdigimizde cikistan 1000mV aliyorsak bunun 5 kati girise cikisin 5 kati degeri vermektedir. O halde sistem olceklenebilirdir.

girise 600mV verdiginde cikisin 1000+5000=6000mV verdigi de gorulebilir. Keza y=10*600=6000mV dur.

O halde bu amplifikator lineer sistem ozelligi gosterir.

Diyelimki amplifikatorumuz 12v ile calisiyor ve Girise 1v uyguladigimizda cikistan 10v aliriz.

Girise 2 volt uyguladik. 2 volt icin cikis 20v olmalidir ancak amplifikator en iyi ihtimalle 12v verir.

1v---> 10v
2v---> 12v

Olceklenebilir mi degil. Dolayisi ile toplanabilirlik ozelligine bakmamiza gerek yok bu sistem lineer bir sistem degil. (Giris sinyalinin sinirlarina dikkat edersek lineer sistem)

 

[Mikro Step]

y=e+2; gibi bir sistem dusunelim.

Yani sistem cikisinda 2v ofset var.

1v icin y=3v
2v icin y=4v

normalde 2v icin 2*3=6v almamiz gerekirdi. O halde lineer bir sistem degil.

 

[Mikro Step]

Klasik kontrol derslerinde sistemlerin analitik ele alanabilmesi icin sistemin tek basina lineer sistem olmasi yeterli degil ayni zamanda zamanda degismezlik ozelligini de saglamasi gerekir.

Ingilizce litearturde bu sistemler LTI = Linear Time Invariant sistemler denir.

O halde zamanda degismezlik ozelligi nedir?

En basit haliye karakteri zamanla degismeyen sistemler zamanla degismeyen demektir.

Matematiksel olarak giris isareti otelendiginde cikis isareti de ayni otelemeye maruz kalan sistemdir.

y(t)=f(t) sisteminde T kadar oteleme yaparsak y(t-T) = f(t-T) olmalidir. Yani giris sinyali geciktirilirse cikis da ayni sekilde gecikmelidir.