38 yildir cozulemeyen sorum.

[Mikro Step]

Hani matematik tarihinde asirlardir cozulemeyen unlu sorular varya. Hatta cozene milyon dolar vaadediliyor.

Benim de 38 yildir cozemedigim danistigim kisilerden cevap alamadigim, duymamazliktan gelindigim bir sorum var. O milyon dolarlik sorulardan degil elbette. Ama bu soru kafami icten ice kemiriyor.

Gecen gun youtube da unlu matematik kanallarindan birisinin sahibine bir sorum oldugunu, sorumla ilgilenip ilgilenmeyecegini, ugrasamam derseniz ucreti karsiliginda da mi ugrasmazsiniz seklinde bir teklifte bulundum.

Ilgili kanal ayni zamanda ozel derste verdigi icin sorumu inceleyecegini ardindan da fiyat verecegini soyledi.

Sorumu gonderdim, bir kac gun sonra durumu sordugumda ugrasilacak bir sey yok analtik bir cozum yok gibi kestirme bir cevap verdi.
Deneme yanilma ile sonuca ulas dedi.

Fakat bu cevap matematigi seven biri olarak beni tatmin etmedi.

Yani sorum halen cevapsiz.

Bu sorumu Ali Nesin'in Facbook adresine de yolladim. Cevap bile vermedi. Gerci bu tip unlu kisiler bu islere genelde bakmaz. Sekreterleri vardir yardimcilari vardir. Gonderdigim e-mail belki de kendisine bile verilmedi.

Neyse.

Sorumu bir sonraki mesajimda yazacagim. Bakarsiniz burdan bir Cengaver cikar.

 

[Mikro Step]

Sorumun daha basit halini sorayim.

e sayisi 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1 /24 + .....

diye gidiyor.

Yani aslinda serimiz

[math] e=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}[/math]
Simdi anlasilir olmasi icin e sayisini 2.7182818284 olarak noktadan sonra 10 dogru basamakli olacak sekilde yazayim.

Sorum su sekilde.

Bu sonucu elde edebilmek icin n yi en az hangi degere kadar ilerletmeliyim. Bunun cevabi A tane terim olsun.
Bunun cevabi zaten universite veriliyor.

Gelelim asil cozemedigim kisima;

1/3!=0.16666666666666666666666666.......
1/4!=0.04166666666666666666666666.......
1/5!=0.00833333333333333333333333.......
..
..
..

diye gidiyor.

Bu oranlarda en az kac tane basamak almaliyim ki e sayisini 2.7182818284 olarak elde edeyim.

Evet 38 yildir cozemedigim soru bu.

Tabiki soruyu bilgisayarda denettirerek degil analitik olarak cozmeniz gerekiyor.

Bu sorunun cevabini Casio, TI, HP, Microsoft, Borland vs gibi firmalar zamaninda kesin cozmus olmalilar.
Deneme yanilma ile bulduklarini sanmiyorum.

Dikkat ederseniz bu soru, hesapmakinesi ya da yuksek duzeyli dillerin math kutuphane tasarimlari icin cok onemli.

 

[clc]

Significant figure olayında hesaba kattığın digit ile elde ettiğin sonuçta kaç digitin doğru olacağı ile ilgili bir şey vardı. Ama yine de sorunun cevabının bu olduğunu düşünmüyorum, e için deneyince farklı, sin için farklı olabilir. Hatta 10 basamak açmak ile 20 basamak açıldığında durum değişebilir, yani cevap lineer bile olmayabilir gibi geldi bana.

Şöyle bir yaklaşım olabilir belki, normalde mesela diğer konudaki limiti çözerken n yerine 10^n yazıp sonra 1/10^n ufak bir sayı bunu ihmal etsem error şu kadar olur diyip çözüme gidebiliyoruz. Eğer bu toplam error hakkımızı tekil elemanlara indirirsek olabilir.

Bence bilimsel hesap makinalarında vs hesapladıklarından daha az digit göstererek(mesela 17 hesaplayıp 15 göstermek gibi) basit çözüme gidilmiştir uzun süre.

 

[Mikro Step]

Bu konuda olabilecek her turlu dokumani gormek isterim.

Toplama isleminde sag taraftan eldeler geliyor. Eger 1/n! i bir yerde kesersek elde gelmez ve hata olusur.
Gereginden fazla basamak alirsak da bosu bosuna toplama yapmaya ugrasiriz.

Tabiki bu durum e icin farkli sin icin farkli cos icin farkli. Sin cosu birak e^n de cok farkli.

Seri toplaminda terim sayisini cok almak dogrulugu artirken 1/n! de basamaklari az alirsak dogruluk elden gidiyor.

Zaten terim sayisini cogaltip 1/n! de basamak sayisini azaltirsak n arttikca 1/n! o kadar kuculur ki sadece kesmeden dolayi sadece 0 degerleri gelir.

 

[devreci]

Burada olasılık var .

0.099 ile 0.1 arasında %1 lik bir hata payı var.

Eğer bu işlemi 10 defa yaparsak %10 ile %0 arası bir hata payı olacak o zaman sayımızı %0.1 hata ile hesaplarsak 10 tane işlemde max %1 hatayı tutturmuş oluruz.

Senin sorunda 100 milyarda bir hata olsun diyorsun , o zaman 1 trilyonda bir hata ile işlem yaparsan 10 defa yaparsan bunu mutlaka tuturabilirsin istediğin sayıyı .

Yani kısaca n sayısı ile hata katsayısını çarparsın bu da sana ihtiyacın olan hassasiyeti verir.

Float pointte hata gerçek sayının 10milyonda 1 gibi tabi bu floata çevirilen sayının değerine göre 0 da olabilir 20m 1 de olabilir..

 

[clc]

Mutlaka tutturursun evet ama daha az hesaplama ile de spesifik durumlar için tutuyor olabilir. Bir digit fazla hesaplamak için seriyi açarken o digitin artık hiç değişmediğini, değişimin yalnızca sonraki digitte olduğunu görmek lazım. Bunlar hep ek işlem, buradaki soru bunları analitik olarak bulmak mümkün mü? Belki de nümerik yöntemlere çok iyi hakim birisi bu hesaplamaların error değerine şöyle yakınsanaiblir der. Ama yine de analitik çözüm var mı, lineer bir şey mi bilmiyorum

 

[Mikro Step]

Sadece karalama yapiyorum.

[math]e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*3*4}+\frac{1}{2*3*4*5}+\frac{1}{2*3*4*5*6}+\frac{1}{2*3*4*5*6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3*4}+\frac{1}{3*4*5}+\frac{1}{3*4*5*6}+\frac{1}{3*4*5*6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4*5}+\frac{1}{4*5*6}+\frac{1}{4*5*6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}(1+\frac{1}{4}(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5*6}+\frac{1}{5*6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}(1+\frac{1}{4}(1+\frac{1}{5}(1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}(1+\frac{1}{4}(1+\frac{1}{5}(1+\frac{1}{6}(1+\frac{1}{7}+....[/math]

 

[Mikro Step]

Bir baska karalama

[math]e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*3*4}+\frac{1}{2*3*4*5}+\frac{1}{2*3*4*5*6}+\frac{1}{2*3*4*5*6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2*3*4*5*6*7..}(3*4*5*6*7...+ 4*5*6*7... + 5*6*7... + 6*7...+ 7..+....[/math]

 

[mechanic]

Bir baska karalama

[math]e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*3*4}+\frac{1}{2*3*4*5}+\frac{1}{2*3*4*5*6}+\frac{1}{2*3*4*5*6*7}+....[/math]
[math]e=1+1+\frac{1}{2*3*4*5*6*7..}(3*4*5*6*7...+ 4*5*6*7... + 5*6*7... + 6*7...+ 7..+....[/math]

Doğal logaritmada taban e sayısı oradan çözümü bulursun belki.

Natural logarithm - Wikipedia

en.wikipedia.org

 

[Mikro Step]

N ninci terime kadar seriyi toplamis olalim. N+1'inci terimi toplama ilave edersek toplamda ne kadarlik bir degisim yapariz.

Cikis noktamiz burasi.

N+1'inci terim toplama 1/(N+1)! kadar bir eklenti yapar.

Simdi soru su?

Bu kadar eklenti daha onceki toplamda kacinci digite kadar degisiklik yapar.

Elde bir yere kadar yuruyup bunun daha solunda degisiklik yapmiyorsa aradigimiz cevap bulunmus olacak.

 

[Haze]

@Mikro Step yapay zekaya sordun mu?

 

[Mikro Step]

Yaaa birak o geri zekaliyi.

Bir ara sormustum. Ise yarar bir sey soyleseydi burda sormazdim.

Ne zaman okkali bir soru sorsam, teknik adamlardan destek alin vs vs diyor.

 

[Haze]

hocam openAI'a ben sordum, verdigi en mantıklı cevap deneyerek bulmak dedi, sonra ayni soruyu baska sekiilerde sordum, etkisi cok azdir dikkate alınmaz gibi sacmalamaya basladi, ama sizin sordugunuz matematikci ile aynı cevabı vermesini de garipsedim.

 

[Mikro Step]

Deneyerek dogru sonuca ulasmak fikri kafami kemiren kurdu oldurmeye yetmiyor.

Uygulama yaparken tamam zaten oyle yapiyorum.

Esasen olay su. Belki bu sorunun cok basit bir cevabi var.

O cevabi ogrendigimde bugune kadar ordugum duvarin oyuklari birden doluverecek, belki de duvarin bazi bolumleri yikilacak.

Su anda yasadigim zorluklarin sebebi, iyi bir mahalle lisesinde matematik agirlikli okumak yerine sanat okuluna gitmis olmamdan kaynaklaniyor.

Universite oncesi alamadigim matematiksel dusunce felsefesinden eksik kaldim.

O yuzden bu soruyu cozemiyorum.

 

[Haze]

basligi baska bir mecraya suruklemek istemiyorum ama benimde kafamda hep su soru kemirir: su meshur bilim adamları teeeeee o caglarda nasıl bu kadar gelisim gosterdi ona hayret ediyorum, belki bir kitaba erismek icin omur veren insanlar, maxwell,newton vs..
biz gunumuzde bunca kaynakla bile yanından gecemeyiz adamların.

 

[Mikro Step]

Kesinlikle.

Dusunsene masamda bilgisayar var hesap makinesi var. Bir tomar A4 kagidim, kalemim silgim var. Internetim var. Masami piril piril aydinlatan lambam var.

Birak milattan sonrasini milattan once sen otur bu islerle ugras.

MS 1600 lu yillari dusun. Tertemiz bir A4 kagidinin degerini dusunebiliyormusun?

Ne kadar universiye bitirsek de bizler vasat insanlariz. Bir Euler olamayiz.

O da Allah vergisi iste.

 

[taydin]

basligi baska bir mecraya suruklemek istemiyorum ama benimde kafamda hep su soru kemirir: su meshur bilim adamları teeeeee o caglarda nasıl bu kadar gelisim gosterdi ona hayret ediyorum, belki bir kitaba erismek icin omur veren insanlar, maxwell,newton vs..
biz gunumuzde bunca kaynakla bile yanından gecemeyiz adamların.

Aşağıdaki videoyu seyrederken ben de aynı şeyleri düşündüm. 200 yıl önce bir matematikçinin 2 yılda çok yoğun çalışarak keşfettiği rakamı şimdiki en basit bilgisayarlar bile 1 saniyede keşfediyor.

 

[devreci]

Mesela istediğin sayı 0.2 ama işlem sonucu elimizde 0.19999999999 var bunu kabul etmiyor musun?

 

[Mikro Step]

0.2 sonucu icin 0.19999999999 zaten 0.2 demek.
Sonucu 0.20000000000 bekliyorsam 0.19999999999'u kabul etmem.

 

[Mikro Step]

Cevaba bir adim daha yaklastim.

http://erhancoskun.com.tr/wp-content/uploads/2018/12/bolum3.pdf

Bu dokumani yazan Erhan Bey'den umutluyum. Kendisine mail de attim. Dokuman da soruma cevap olabilecek kadar iyi.

Zaten konustugum matematikcilerden birisi bu konuyu uygulamali matematik ve numerik analiz konusundaki hocalarla konus demisti.

Dokumanin yazari da tam bu vasiflarda.