Fourier teoremi

DonKişot

Üye
Katılım
12 Ağustos 2019
Mesajlar
83
Fourier teoremine göre tüm peryodik sinyaller belli frekanslardaki sinüsoidal bileşenlerin toplamı olarak ifade edilebiliyor. Şunu anlamıyorum, bir flip flop ile kare dalga üretiyorsam, sinüs bileşenleri nerede ve nasıl eklemiş oluyorum?
Sonuçta flop flop çıkışı durum değiştiriyor bir sinüs üreteci yok devrenin herhangi bir yerinde. Sonsuza dek uzayıp giden sinis bileşenlerini kim üretiyor veya nasıl ürüyor :)
 
Ah kardeşim benzer bir soruyu ben EEVBlog'da sormuştum. Adamlar resmen beni tefe koydular ve kendimi zor attım dışarı :cheeky4:

Önce genel olarak dalga geçildi, sonra konuya felsefi olarak girenler oldu ve en sonunda hayatın anlamı, evrenin varoluşuna kadar gitti :katil2:
 
Benim şöyle bir teorim vardı: Mesela MOSFET ile bir rezistif yükü saniyede 1000 kez açıp kapatıyoruz. Ortalıkta sinüs falan yok, ama bu kare dalganın FFT sini alınca sonsuza dek uzanan harmonikler görünüyor. Acaba FFT, kare dalgadaki yükselen ve düşen kenarın dV/dt eğimini temsil eden eşdeğer sinüsleri hesaplıyor ve onları mı ifade ediyor? Yani gerçekte onlar yok da sadece FFT'de eşdeğer sinüsleri mi görüyoruz?

Neyse, o gün EEVBlog'dan kaçtıktan sonra bunu artık bir şekilde deneyip kendi gözlerimle görmeye karar verdim ve şöyle bir deney yaptım:

AP525 ile 12 kHz lik kare dalga ürettim. Bu cihaz çok temiz, ideale çok yakın kare dalga üretebiliyor. Sonra AP525 çıkışını çok keskin bir pasif low pass filtreden geçirdim. Bu algoritmik bir filtre değil, pasif devre elemanlarından meydana gelen gerçek hardware filtre. Aşağıda resmi var:

1580903894000.png


Bu low pass filtrenin kesim frekansı 20 kHz ve o civarda çok keskin bir şekilde 60 dB zayıflatma sağlıyor. Filtrenin çıkışını gene AP525 ile ölçtüm, temiz ve net 12 kHz lik bir sinüs dalgası gördüm. Aşağıdaki gibi:

a.png


Sonra 8 kHz kare dalga ürettirdim ve 8 kHz, 16 kHz'e denk gelen harmonikleri gözlemledim

b.png


Sonra 6 kHz kare dalga ürettirdim ve 6 kHz, 12 kHz, 18 kHz'e denk gelen harmonikleri gözlemledim.

c.png


Yani her ne kadar mantıksız da gelse, o karedalga'da o sinüsler var. Nasıl var, nereden geldi, bilmiyorum ama var.
 
Biz insanlar zaman domeninde düşünmeye çok alışığız o yüzden frekans domeni aklımıza yatmıyor.
Zaman domeni kalıplarından sıyrılıp frekans domeninde daha fazla vakit geçirsek belki de çok mantıklı gelecek böyle olması.
 
Valla bana hiç mantıklı gelmiyor. Ama doğadaki birçok olayın da özünde sinüs var. Yaya asılı kütlenin aşağı yukarı hareketi, topun yerden sekmesi ve birçok başka fiziksel olgu.
 
Fourier, olayın matematiksel açıklaması bence.
Tıpkı kondansatör-bobin şarj-deşarj eğrilerinin e sayısıyla açıklanması gibi.

Bende üniversitede determinant kuralının nasıl bulunduğunu sormuştum.
Asıl sormak istediğim: Determinant nasıl bir mantıkla bulunmuştu ki denklemleri çözebilmeyi sağlıyordu?
Hocada tatmin edici bir cevap vermedi. Sadece ezberci öğrenci mantığı kuralı açıklamaya çalışmıştı.
 
Ortada sinüs falan yok, biz sinüslere bölüp ifade ediyoruz.

1. Çoğu devrenin bir sinüs dalgasına ne yapacağını kestirmek kolay. Hatta LCR devreleri kendi kendine sinüs şeklinde osilasyon yapıyor.

2. Lineer devrelerde n adet sinyalin toplamının uğradığı işlem, parçaların ayrı ayrı işlenip toplanması ile aynıdır.

Böylece devreyi sinüs toplamı olarak ifade edince kolayca analiz edebiliyoruz.

 
O zaman kare dalga verilen filtreden temel sinüs ve harmoniklerin çıkmasını nasıl açıklayacağız?
 
Matematiksel açıklama: filtre lineer bir devre olsun, mesela radyolardaki LC filtresi. Filtre devresinin sinüslere ne yaptığını biliyoruz (bazı frekansları az bazılarını çok geçirecek). Fourier bileşenlerinin frekanslarını biliyoruz ve bunlar sinüs, filtreyi tek tek uygulayıp geri toplarsak harmonikler ortaya çıkıyor ve kare dalga artık kare olmuyor.

Sezgisel açıklama: LC devresi rezonant bir devre, sallanan bir salıncak gibi. Doğal olarak, yapısı geregi sinüs seviyor. Biz salıncağı kare dalga olarak itsek de ortaya çıkan şey sinüse benzemeye çalışacak.
 
Matematiksel açıklama: filtre lineer bir devre olsun, mesela radyolardaki LC filtresi. Filtre devresinin sinüslere ne yaptığını biliyoruz (bazı frekansları az bazılarını çok geçirecek). Fourier bileşenlerinin frekanslarını biliyoruz ve bunlar sinüs, filtreyi tek tek uygulayıp geri toplarsak harmonikler ortaya çıkıyor ve kare dalga artık kare olmuyor.

Eğer benim 2 kanallı sinyal jeneratörümden 8 kHz ve 16 kHz ürettirip, sonra da bunları toplayıp hardware filtresine versem. çıkışta o iki harmoniği görmem gayet doğal birşey olurdu. Ama girişe ideale yakın 8 kHz kare dalga veriyorum. Yükselme ve düşme hızı yüksek, tepesi neredeyse dümdüz. Ve hardware filtresinin çıkışında 8 kHz ve 16 kHz görüyorum.

İki ihtimal var: Ya bizim idrak edemediğimiz bir şekilde o ideale yakın karedalgada 8 kHz ve 16 kHz lik sinüs var, veya o ideale yakın karedalgaya hardware filtresinin verdiği tepki, o iki sinüsü üretmek. Hangisi bilemiyorum, ama ikincisine inanmaya daha yatkınım :D
 
Fourier teoremine göre tüm peryodik sinyaller belli frekanslardaki sinüsoidal bileşenlerin toplamı olarak ifade edilebiliyor. Şunu anlamıyorum, bir flip flop ile kare dalga üretiyorsam, sinüs bileşenleri nerede ve nasıl eklemiş oluyorum?
Sonuçta flop flop çıkışı durum değiştiriyor bir sinüs üreteci yok devrenin herhangi bir yerinde. Sonsuza dek uzayıp giden sinis bileşenlerini kim üretiyor veya nasıl ürüyor :)
FF sinüslerin toplamı olarak kare dalga üretmez.
Fourier seri açılımı bir fonksiyonu sin toplamları olarak ifade etmeye yarar.

Fourier serisi sadece "bir fonksiyonu nasıl sin'ler toplamı şeklinde yazarız" sorusunun cevabıdır. Ayrıca şu ayrıntıya dikkat etmek lazım.
1 ve 0 olarak konum değiştiren bir kare dalga ile farklı şekilde üretilen bir kare dalga arasında gözükmeyen ciddi bir fark vardır.
çünkü birincisi tamamen ayrık zamanlı (parçalı fonksiyon) diğeri ise bir takım farklı fonksiyonların toplamı(sinler toplamı) olarak 2 farklı şekilde elde edilmiş olabilir. Bu durum ise frekans spekturumunda ortaya çıkar.

Aslında her şeyin içinden sinüs çıkmasının sebebi çok doğal bir fonksiyon olması. Fizikteki parçacık gibi. Bu yüzden her şeyi sinüs ile ifade etmek neredeyse mümkün gözüküyor. Hatta dikkatli bakıldığından diğer seri açılımları ve dönüşümlerde gizlenen bir sinüs her zaman var. Eski matematik hoca sinüs için "Hz sinüs" derdi. Evrenin yapı taşı olduğunu iddia ederdi. :)
 
Ekleme
Sonsuza dek uzayıp giden sinis bileşenlerini kim üretiyor veya nasıl ürüyor :)
Maalesef öyle bir şey üretilmiyor.
Sen bir adem evladı olarak keskin zekanı kullanarak o kare dalgayı sonsuz adet sin'ler toplamı şeklinde yazmayı başarıyorsun.
Çünkü birisi sana "evlimizde kare dalga kalmadı bitti" dediği zaman onun eksikliğini dolduracak fiziksel olarak sonlu sayıda sin ile "kare" adını verdiğin "çakma kare" fonksiyonunu elde ediyorsun. :D
 
Fourier serisi sadece "bir fonksiyonu nasıl sin'ler toplamı şeklinde yazarız" sorusunun cevabıdır. Ayrıca şu ayrıntıya dikkat etmek lazım.
1 ve 0 olarak konum değiştiren bir kare dalga ile farklı şekilde üretilen bir kare dalga arasında gözükmeyen ciddi bir fark vardır.
çünkü birincisi tamamen ayrık zamanlı (parçalı fonksiyon) diğeri ise bir takım farklı fonksiyonların toplamı(sinler toplamı) olarak 2 farklı şekilde elde edilmiş olabilir. Bu durum ise frekans spekturumunda ortaya çıkar.

100 üncü harmoniğe kadar giderek üretilmiş bir kare dalga ile MOSFET switch ile üretilmiş kare dalga arasında fark var evet. Sinüslerden elde edilenin yükselme ve düşme kenarlarında "overshoot" lar oluyor. Ayrıca kare dalganın tepesinde bir artık sinüs salınımı oluyor. Ama gene aynı soruyu soracağım:

100 üncü harmoniğe kadar sinüslerle 8 kHz kare dalga elde ettik, bir de MOSFET switching ile 8 kHz kare dalga elde ettik. Bunların ikisini de benim hardware filtreye verince çıkışta 8 kHz ve 16 kHz lik harmoniği görüyoruz. İlk karedalgada bunu görmek şaşırtmıyor, çünkü öyle ürettik zaten. Ama ikinci karedalgada da aynı sinüslerin çıkmasını idrak edemiyorum.
 
İkinci durum sizi neden şaşırtıyor anlamadım açıkçası.
Anladığım kadarıyla siz bir çizgiye bakınca sadece çizgiyi görüyorsunuz.
Biraz daha yakından bakarsanız çok sayıda nokta göreceksiniz. :)

Olay aslında bir çıkarımdan ibaret.

Benim kişisel yorumum şu şekilde;
Fizikte nasıl her şeyin yapı taşı x, y, z(parçacık isimlerini hatırlamıyorum) parçacıklarından ibaret ise
Matematikte de her fonksiyonun yapı taşı sin, cos
 
Gerçek hayatta gördüğümüz efektler sadece "Fourier serisinin ilk n elemanı" değil. Bunu görebilmek için aşırı keskin bir filtre yapmamız lazım ki n. elemandan sonrasını tamamen atsın. Böyle filtreleri istemeden yapmak zor. Yani:

Sonra AP525 çıkışını çok keskin bir pasif low pass filtreden geçirdim. Bu algoritmik bir filtre değil, pasif devre elemanlarından meydana gelen gerçek hardware filtre.

Kritik noktalardan biri burası, yani filtrenin şekli. Sadece RC veya sadece RL elemanlarından oluşan (n kutuplu) bir filtre ile bunu yapmayı deneyin. Yapılamıyor olmalı (ben yapamadım). En azından C ve L olmalı ve bunlar birbiriyle kavga etmeli.

Kontrol teorisinde bu olay damping ratio ile öngörülüyor. Damping ratio 1'den küçükse osilasyon oluşuyor, büyükse oluşmuyor. Ve bu damping ratio'yu sadece sistemin frekans tepkisine bakarak belirleyemiyoruz: faz tepkisine de bakmak zorundayız.

Gerçek hayatta %100 keskin filtreler olmadığına ve biz de matematiksel değil gerçek hayatta görebileceğimiz bir yanıt aradığımızdan soru kendiyle çelişiyor :) Bu soru belli bir filtre özelinde sorulmalı, mesela RLC low-pass filtre.
 
Kullandığım filtre AUX 0025. Tamamen pasif elemanlardan (RLC) meydana geliyor.
 
Farklı bir sinyal jeneratörü ile tekrar deneyip bu sefer osiloskop ile bakayım bakalım farklı birşey görecek miyiz ...

Yalnız bu arada bu filtre tam olarak 20 kHz de kesmiyormuş. 250 kHz de -52 dB aşağı iniyormuş. O yüzden de zaten testi tekrarlamak istiyorum. Bunun kullanım amacı, Class D amfilerde ölçümleri yaparken PWM palslerini elimine edip nihai sinyale odaklanmak.
 
Datasheetinde filtrenin faz yanıtını veya damping ratiosunu bulamadım. Ama RLC kendi başına zaten osilasyona çok açık, bu yüzden sinüs görmek beni pek şaşırtmıyor.

Benim kontrol teorim çok iyi değil ama teoriyi öğrenmek için anahtar kelimeler step response ve damping ratio.

Şu uygulamalar çok güzelmiş, görülecek her şeyi gösteriyor, RLC için de var: http://sim.okawa-denshi.jp/en/Fkeisan.htm
RLC uygulamasında çeşitli değerlerle damping ratioyu 1in üstüne çıkarıp osilasyonları kesebiliyor veya 1in altına indirip osile olmasını sağlayabiliyorum.
 
Bu muhtemelen osilasyona girmiyordur çünkü bunun anlamı bazı frekans veya genlik değerlerinde tamamen yanlış sonuç ölçülmesi. Halbuki Class D için bununla tüm amfi ölçümleri yapılıyor ve spec olarak yayınlanıyor.

Ama bu filtrenin analizini yapmak da çok öğretici olur, o yüzden yaparız. Step response ölçme imkanım var, ama damping ratio nasıl ölçülüyor ona bakmam lazım şu anda kafadan bilmiyorum. Faz ve frekans tepkisini de AP525 ile ölçebilirim.
 

Çevrimiçi üyeler

Çevrimiçi üye yok.

Forum istatistikleri

Konular
6,958
Mesajlar
118,802
Üyeler
2,825
Son üye
bekinci

Son kaynaklar

Son profil mesajları

hakan8470 wrote on Dede's profile.
1717172721760.png
Dedecim bu gul mu karanfil mi? Gerci ne farkeder onu da anlamam. Gerci bunun anlamini da bilmem :gulus2:
Lyewor_ wrote on hakan8470's profile.
Takip edilmeye başlanmışım :D ❤️
Merhaba elektronik tutsakları...
Lyewor_ wrote on taydin's profile.
Merhabalar. Elektrik laboratuvarınız varsa bunun hakkında bir konunuz var mı acaba? Sizin laboratuvarınızı merak ettim de :)
Lyewor_ wrote on taydin's profile.
Merhabalar forumda yeniyim! Bir sorum olacaktı lcr meterler hakkında. Hem bobini ölçen hemde bobin direnci ölçen bir lcr meter var mı acaba?
Back
Top