Lineer cebir, doğrusal ilişkileri anlamamıza yardımcı olan bir matematik dalıdır. Yani, bir şeyin diğer bir şeyle nasıl doğrusal bir ilişkisi olduğunu anlamamıza yardımcı olur. Bu, matematiksel bir ifade ile şöyle ifade edilir:
[math]y=mx+b[/math]
Burada, y ve x değişkenlerdir, m eğim (yani, doğrunun dik olanını ifade eder) ve b ise doğrunun y-ekseni ile kesiştiği noktadır.
Lineer cebir, bu tür denklemleri ve doğrusal ilişkileri daha karmaşık sistemler içinde de çözebilir. Örneğin, bir dizi denklemle temsil edilen bir problemi çözmek, belirli bilinmeyenleri bulmak gibi.
1.Ev: Oda Sayısı = 3, Ev Büyüklüğü = 150 m², Fiyat = 300,000 TL.
2.Ev: Oda Sayısı = 4, Ev Büyüklüğü = 200 m², Fiyat = 400,000 TL
3.Ev: Oda Sayısı = 2, Ev Büyüklüğü = 120 m², Fiyat = 250,000 TL
Evlerin oda sayıları ve büyüklükleri birer vektör olarak ifade edilebilir.
Bu verileri içeren matrisi oluşturalım
[math] X = \begin{bmatrix} 3 & 150 \\ 4 & 200 \\ 2 & 120 \end{bmatrix} [/math] Evlerin fiyatlarını içeren bir vektörü oluşturalım [math] y = \begin{bmatrix} 300000 \\ 400000 \\ 250000 \end{bmatrix} [/math] Lineer regresyon modeli, [math]y = Xw[/math] formülü ile ifade edilir, burada [math]w[/math] ağırlıkları içeren vektördür. Lineer regresyon modelini eğitmek için [math]w[/math] vektörünü bulmak için kullanılan formül [math] w = (X^TX)^{-1}X^Ty [/math] [math] X^T = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 150 & 200 & 120 \end{bmatrix} [/math] [math] X^TX = \begin{bmatrix} 29 & 770 \\ 770 & 45000 \end{bmatrix} [/math] [math] (X^TX)^{-1} = \begin{bmatrix} 0.046 & -0.0012 \\ -0.0012 & 0.0000333 \end{bmatrix} [/math] [math] X^Ty = \begin{bmatrix} 29 & 770 \\ 770 & 45000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 300000 \\ 400000 \\ 250000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29000000 \\ 12200000000 \end{bmatrix} [/math] [math] w = \begin{bmatrix} 0.046 & -0.0012 \\ -0.0012 & 0.0000333 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 29000000 \\ 12200000000 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1346.1538 \\ -5.3846 \end{bmatrix} [/math] Modeli kullanarak yeni bir evin fiyatını tahmin etmek için, oda sayısını [math]x_1[/math] ve büyüklüğünü [math]x_2[/math] olarak düşünerek şu formülü kullanabiliriz [math] \text{Tahmin Fiyat} = 1346.1538x_1 - 5.3846x_2 [/math]
[math]y=mx+b[/math]
Burada, y ve x değişkenlerdir, m eğim (yani, doğrunun dik olanını ifade eder) ve b ise doğrunun y-ekseni ile kesiştiği noktadır.
Lineer cebir, bu tür denklemleri ve doğrusal ilişkileri daha karmaşık sistemler içinde de çözebilir. Örneğin, bir dizi denklemle temsil edilen bir problemi çözmek, belirli bilinmeyenleri bulmak gibi.
- Mühendislikte: Elektrik devreleri, yapısal analiz gibi birçok problem lineer denklemlerle modellenebilir.
- İstatistikte: Veri analizi ve regresyon analizi gibi konular lineer cebir kullanarak gerçekleştirilebilir.
- Bilgisayar Biliminde: Grafikler, yapay zeka ve veri madenciliği gibi alanlarda kullanılır.
1.Ev: Oda Sayısı = 3, Ev Büyüklüğü = 150 m², Fiyat = 300,000 TL.
2.Ev: Oda Sayısı = 4, Ev Büyüklüğü = 200 m², Fiyat = 400,000 TL
3.Ev: Oda Sayısı = 2, Ev Büyüklüğü = 120 m², Fiyat = 250,000 TL
Evlerin oda sayıları ve büyüklükleri birer vektör olarak ifade edilebilir.
Bu verileri içeren matrisi oluşturalım
[math] X = \begin{bmatrix} 3 & 150 \\ 4 & 200 \\ 2 & 120 \end{bmatrix} [/math] Evlerin fiyatlarını içeren bir vektörü oluşturalım [math] y = \begin{bmatrix} 300000 \\ 400000 \\ 250000 \end{bmatrix} [/math] Lineer regresyon modeli, [math]y = Xw[/math] formülü ile ifade edilir, burada [math]w[/math] ağırlıkları içeren vektördür. Lineer regresyon modelini eğitmek için [math]w[/math] vektörünü bulmak için kullanılan formül [math] w = (X^TX)^{-1}X^Ty [/math] [math] X^T = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 150 & 200 & 120 \end{bmatrix} [/math] [math] X^TX = \begin{bmatrix} 29 & 770 \\ 770 & 45000 \end{bmatrix} [/math] [math] (X^TX)^{-1} = \begin{bmatrix} 0.046 & -0.0012 \\ -0.0012 & 0.0000333 \end{bmatrix} [/math] [math] X^Ty = \begin{bmatrix} 29 & 770 \\ 770 & 45000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 300000 \\ 400000 \\ 250000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29000000 \\ 12200000000 \end{bmatrix} [/math] [math] w = \begin{bmatrix} 0.046 & -0.0012 \\ -0.0012 & 0.0000333 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 29000000 \\ 12200000000 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1346.1538 \\ -5.3846 \end{bmatrix} [/math] Modeli kullanarak yeni bir evin fiyatını tahmin etmek için, oda sayısını [math]x_1[/math] ve büyüklüğünü [math]x_2[/math] olarak düşünerek şu formülü kullanabiliriz [math] \text{Tahmin Fiyat} = 1346.1538x_1 - 5.3846x_2 [/math]
