Sw anahtari acilip kapanirken ilerleyen zamanda Sw anahtari tam sifirdan 1'e gecerken zamani durduralim ve cikis voltajinin denklemini yazalim.
Bu anda kondansator uclarindaki gerilim [math]V_{o}[/math] degerine ulasmis olsun.
[math]i=C\frac{dv_c}{dt} = \frac{V-v_c}{R_1}[/math]
S domenine gecelim.
[math]V(s)=\frac{V}{S}[/math]
[math]i=SCv_c(s)-CV_o=\frac{V}{SR_1}-\frac{v_c(s)}{R_1}[/math]
[math]SCR_1v_c(s) - V_oCR_1 = \frac{V}{S} - v_c(s)[/math]
[math]v_c(s) + SCR_1v_c(s)=\frac{V}{S} + V_oCR_1[/math]
[math]v_c(s)[1 + SCR_1]=\frac{V}{S} + V_oCR_1[/math]
[math]v_c(s)=\frac{1}{1+SCR_1}*[\frac{V}{S} + V_oCR_1][/math]
Duzenleyelim.
[math]v_c(s)=\frac{V}{S(1+SCR_1)} +\frac{V_oCR_1}{1+SCR_1}[/math]
[math]v_c(s)=V*[\frac{A}{S}+\frac{B}{1+SCR_1}] +\frac{V_oCR_1}{1+SCR_1}[/math]
[math]A + ASCR_1 + BS \equiv1[/math]
[math]A=1[/math]
[math]SCR_1 + BS=0[/math]
[math]B=-CR_1[/math]
[math]v_c(s)=V*[\frac{1}{S}-\frac{CR_1}{1+SCR_1}] +\frac{V_oCR_1}{1+SCR_1}[/math]
[math]v_c(t)=V*[1-e^\frac{-t}{CR_1}] + V_oe^\frac{-t}{CR_1}[/math]
[math]v_c(t)=V-(V-V_o)e^\frac{-t}{CR_1}[/math] buluruz.
Simdi de Sw nin 1 den 0'a gectigi andan itibaren gecerli olacak devre denklemimizi yazalim.
Olay baslangicinda kondansator uclarindaki gerilim Vo olsun.
Yukaridaki hesaplamalarda V=0 R1 yerine de R2 yazararak dogrudan sonuca ulasabiliriz.
Bu durumda
[math]v_c(t)=V_oe^\frac{-t}{CR_2}[/math] olur.
Anahtar 1 konumunda iken kondansator voltajimiz artmaya baslar. Bu artisi veren ifademiz
[math]v_1(t)=V-(V-V_o)e^\frac{-t}{CR_1}[/math]
Anahtar 0 konumunda iken kondansator voltajimiz azalmaya baslar. Bu artisi veren ifademiz
[math]v_2(t)=V_oe^\frac{-t}{CR_2}[/math]
Kondansatorun voltajinin cikacagi en yuksek deger
[math]V_{1[n]}=V-(V-V_{2[n-1]}) e^\frac{-D}{CR_1}[/math]
Kondansator voltajinin alacagi en kucuk deger ise [math]V_{2[n]}=V_{1[n]}e^\frac{-(T-D)}{CR_2}[/math]
[math]V_{2[n-1]}=V_{1[n-1]}e^\frac{-(T-D)}{CR_2}[/math]
Bu durumda
[math]V_{2[n-1]}=V_{1[n-1]}e^\frac{-(T-D)}{CR_2}[/math]
[math]A=e^\frac{-D}{CR_1}[/math][math]B=e^\frac{-(T-D)}{CR_2}[/math]
olsun.
[math]V_{1[n]}=V(1-A) + AV_{2[n-1]}[/math][math]V_{2[n-1]}=V_{1[n-1]}B[/math]
[math]V_{1[n]}=V(1-A) + V_{1[n-1]}AB[/math][math]V_{1[n]}=V_{1[n-1]}[/math] oldugunda artik sistem dengeye gelmis olacaktir.
[math]V_{1[n]}=V(1-A) + V_{1[n]}AB[/math]
[math]V_{1[n]}=\frac{V(1-A)}{1-AB}[/math]
Buluruz.
Simdi hata yapip yapmadigimizi anlamak icin
R1=R2 T=2D yaptigimizda ortalamanin V/2 olup olmadigina bir bakalim.
R1C>>T R2C>>T olsun.
R1=10K R2=10K C=100n T=10uS D=5uS V=1
A=e^-(5E-6/10E3 * 100E-9)=0.995
B=e^-(5E-6/10E3 * 100E-9)=0.995
[math]V_{1[n]}=\frac{V(1-0.995)}{1-0.995*0.995}[/math]
V1[n]=0.501
V2[n]=0.501*0.995=0.498
Vort= 0.498 + (0.501-0.498)/2=0.4995V
Bingo.
O halde verilen herhangi R1 R2 icin bu bagintiyi kullanabiliriz.
R1=10K, R2=20K, C1=100nF D=5uS T=1uS V=1
A=e^-(5E-6/10E3 * 100E-9)=0.995
B=e^-(5E-6/20E3 * 100E-9)=0.997
[math]V_{1[n]}=\frac{V(1-0.995)}{1-0.995*0.997}[/math]
V1[n]=0.626v
V2[n]=0.626*0.997=0.624v
Vort= 0.624 + (0.626-0.624)/2=0.625V
Bu durumda On ve Off konumlarinda mos direncleri arasinda 100 Ohm farkeden pwm pinine baglanacak 10K direnc ne kadar hataya neden olur?
R1=10K R2=10.1K icin ayni sekilde hesaplanabilir.
Yukaridaki hesaplamada V1[n]=V1[n-1] durumunu denge durumu kabul ederek cozumu kisalttik.
Fark denklemi ile cozseydik daha iyi olacakti.
Eger cozebilirsem cozumu de paylasirim. Yukaridaki 1. cozum yontemimiz.
Simdi de 2. yontemle cozelim.
[math]V_{1[n]}=V-(V-V_{2[n-1]}) e^\frac{-D}{CR_1}[/math][math]V_{2[n-1]}=V_{1[n-1]}e^\frac{-(T-D)}{CR_2}[/math]
Bulmustuk.
[math]A=e^\frac{-D}{CR_1}[/math][math]B=e^\frac{-(T-D)}{CR_2}[/math]
.
