ADC lerde SNR (Signal-to Noise Ratio) uzerine

[Mikro Step]

Ogrencilik yillarinda yaptigim en buyuk hata, o gunku KIT bilgimle bana hangi dersin gerekli hangisi gereksiz kararini vermeye calisip, gereksiz oldugunu dusundugum dersleri ogrenmek icin degil de dersi gecmek icin calismamdan kaynaklanmis olmamdir.

Mesela ben is hayatna atildigimda sayisal sistemler uzerine uzmanlasacagim, lineer devrelerle isim ne?
Ya diferansiyel denklemlerle isim ne?
Bobin ne ya? Ben devrelerimi bobinsiz de tasarlarim.
Elektrik motoru da neymis?

Gibi dusunceler sizlere de tanidik geliyor mu?

Ogrencilik yillarimda bu ne ya bu benim isime yaramaz dedigim derslerin konulari/sorulari mezuniyetimin ardindan onlarca sene sonra bir bir karsima cikmaya basladi.

Keske zamaninda o derse onem verseymisim pismanligi da ise yaramiyor. Tipis tipis o konulari o zaman ogrenmeliyken simdilerde ogrenmek zorunda kaliyorum.

Bu kisa giristen sonra ogrenci arkadaslarimizin kulagina kucuk bir kar suyu kaciralim.

Mufredattaki derslerin onemli olup olmadigina o gunku birikiminiz ile karar veremezsiniz. O mufredata yillarin birikimine sahip ogretim uzmanlari karar vermistir. Sorgulanmamali.

Simdi gelelim ogrencilikte, bu ne ya ne isim olur bununla dedigim Istatistik dersine.

Cunku istatitisik, olasilik denince o gunlerde aklima sadece oyun kagitlari ve tavla zari geliyordu. Ne isim olur benim oyun kagitlariyla ya da zar ile.

Normalde akli basinda bir hoca ogrencilerle ilk kez bulustugu ilk derste bu dersin onemini cok iyi anlatmali ki ogrenci derse yapissin kenetlensin.

Malesef bu zihniyette degil hocalarimiz. (Bu basligi olur da bir hoca adayimiz okursa, bu da onun kulagina kar suyu olsun)

Simdi bu basligi ben sahiplendim. Merak edip ogrendigim konulari, basliktaki sohbet soru cevap mesajlarimizdan ayrilsin goze batsin dusuncesiyle bu satirdaki yazdigim rengi sahiplendim ona gore.

Amacim istatistik uzerine konusmak degil. Fakat bu basligi takip edenlerin ufku, MCU nun ADC pini onune devre kurarken nelere dikkat edilmesi konusunda biraz olsun acilacaktir.

 

[Mikro Step]

Once gurultu uzerine konusalim. Bazen gurultu yerine parazit ifadesi kullanilsa da ben bu terimi hic sevmiyorum.

Evet parazit bir gurultudur ama neden ise bende parazit bir aktivite sonucu ne zaman olacagi kestirilebilir bir gurultuymus izlenimi verdigi icin parazit terimini hayatimdan cikarttim.

Mesela fluorasan lambanin acip kapama anahtarini on yada off yaparsak gurultu olusur bu bir parazittir. Bu gurultun ne zaman olusacagi benim parmagimin anahtara ne zaman dokunacagi ile ilgilidir.

Parazit deterministiktir. Yani ne zaman olusacagi tahmin edilebilir. Gurultu deterministik degildir. Tamamen randomdur.
Mesela smps den gelen DC voltaj gurultuye sahiptir fakat aslinda bu da tam bir gurultu degildir. Ripildir. Ripil da deterministikdir.

O yuzden ben parazit degil gurultu terimini kullanacagim. Fakat konusurken gurultu, parazit, ripil terimlerini bir birine karisitirip yanlis kullansak da cogunlukla ne demek istedigimiz anlasilir.

Gurultuyu kullandigimiz direnc ve yariiletken bilesenler bile uretir ve gurultuden kacis yolumuz yok.

Gurultuyu filtrelerim zayiflatirim soylemleri karsiliginda bazi seylerden odun vermek zorunda kaliriz. Ornegin bir sinyalin ustundeki gurultuleri alcak geciren filtre ile zayiflatabiliriz fakat bu durumda sistemimizin orjinal sinyalimize verecegi yuksek frekans cevabi (buna tepki suresi de diyebiliriz) hantallasir.

Eger gurultuyu azaltmak istiyorsak bunu taaa kaynaginda yok etmeli ya da zayiflatmaliyiz. Eger gurultu zaten varsa bu bizim sinyalimiza bulastiysa gurultuyu zayiflatarak cozum getirmek beraberinde bazi yeteneklerimizin kaybolmasina neden olur. (Yaptigimiz sistemin tepki suresi kotulesir, hantallasir)

Ornegin sistemimizde fircalari asinmis bir DC motor olsun. Amacimiz bu motorun cektigi akima bakarark bir seyleri kontrol etmek olsun.. Bu motor bolca gurultu uretir. Sinyaldeki gurultuyu zayiflatmak yerine yapilmasi gereken sey fircalari ya da motorun kendisini degistirmek olmalidir.

Fakat genellikle boyle radikal degisiklikler yapamayiz.

Gurultuyu tanimlamak gerekirse;

Gurultu, sinyalimizin ustune binen istenmeyen rastgele dalgalanmalardir.

Bu durumda motorun fircalarinin urettigi gurultu de aslinda random degildir. Dolayisi ile firca gurultusu de tam gurultu tanimina uymaz. (En azindan sinyaldeki oynakliklar kollektor dilimlerinin gecis anlari ile iliskilendirilebilir)

Sik sik karsimiza cikan, beyaz gurultu, pembe gurultu ve Gauss tipi gurultu uzerine konusalim.

Eger tum frekanslarda esit seviyede guc dagilimi olan bir gurultu varsa bu beyaz gurultudur.

Beyaz isik dedigimiz isik, tum frekanslarda esit miktarda guce sahip renkli isiklar bir araya gelmis demektir.
Eger beyaz gurultu sinyaline spektrum analizer ile bakarsak dum duz bir cizgi goruruz. Yani her bir frekans esit guctedir.

Eger gurultu sinyalimizin yuksek frekansli bilesenlerinin gucu frekansla azaliyorsa bu durumda gurultumuz pembe gurultu demektir.

O halde pembe gurultu beyaz gurultunun alcak gecren filtreden gecmis haline benzer.

Kahverengi gurultude guc frekansin karesi ile azalir.

Shoot ve popcorn gurultuler cok dusuk genlikli sinyallerle ugrasilan devrelerde belirgin olur.
(Sogutma gerektiren sensorlerde vs bilimadamlarinin kafa patlatmak zorunda kaldigi turden gurultuler)

Son olarak Gaus tipi gurultuden bahsedelim. (Gaussian Noise)

Beyaz gurultude tum frekanslarin gucu esitdi.

 

[Diyot]

Teşekkürler hocam, dışarıda yemeğimin gelmesini beklerken okudum.

 

[Mikro Step]

Gurultu sinyalinin spectrometrede olusturdugu cizginin duz olmasi gurultunun icindeki sonsuz sayida frekansdaki sinyallerin her birinin genliklerin karelerinin toplaminin ortalamasinin ayni oldugunu soyler.

Eger sonsuz sayida sinyal jenaratorumuz olsaydi bunlarin her birisini cok az fakli frekansa ayarlayip hepsinin genligini toplayicidan gecirseydik gene dum diz bir cizgi gorurduk. Fakat elde edecegimiz sinyal gurultu olmazdi.

Peki neden boyle?

Eger sinyal jenatorlerimizin genligi (fazi da olabilir ama bosverin) gurultu sinyali ile module edilseydi ve toplansaydi, eger module eden sinyalimiz deterministik olmasaydi (gurultu sinyali) o zaman sinyalimiz gurultu olurdu.

Spektrum analizer cihazi, incelenen sinyale bir zaman penceresi araligindan bakar ve o pencere aralindaki sinyallerin frekans ve genliklerinin karelerinin ortalamasini raporlar. (!! RMS degerine degil !!)

Eger gurultu sinyali de spektrum analizerde duz bir cizgi olusturuyorsa bunun tek anlami, sinyalin (gurultunun) her bir frekans bileseninin genliginin karesinin ortalamasi, ekranda cizilen duz cizginin o frekansa denk gelen noktasinda sabit deger aliyor demektir.

(Kafasi karisanlar icin: Her bir frekans icin yapilacak hesapla, tek periyod da degil de pek cok periyodda olcum sonucundan hesaplanacagi icin genliklerin karesinin toplaminin ortalamasi o frekenas icin guc yogunlugunu verir)

Genliklerin karelerinin toplaminin ortalamasi Guc Yogunlugunu verir.
Genliklerin karelerin toplaminin ortalamasinin karekoku ise RMS degeri verir.

Peki bu kadar laf salatasindan sonra Gauss gurultuye gelelim. LAfi dolastirdim cunku beyaz gurultu ve gauss gurultu ayniymis hatasina dusullur.

Sebebini anlayacagiz.

Spektrometrede Gauss dagilimina sahip gurultu de beyaz gurultu de ayni goruntuyu (duz cizgi) gosterir. Halbuki tamamen farkli tip gurultulerdir.

Ayrim icin histogramina bakmamiz gerekir.

Bunun icin, sinyali uzun bir pencere araliginda ornegin 1sn ADC ile ornekleyelim. Mesela ADC bize 0..255 aralinda degerler verecek.
Orneklenen degerlerden kac tane 1 okumusuz, kac tane 2 okumusz kac tane 3 okumusuz bunlari tespit edecegiz.

Sonra yatayi 0,1,2,3,4...255 olarak, dikey ekseni de kac tane sifir kac tane 1 kactane 2... kac tane 255 okumus seklinde dusunup egrimizi cizecegiz.

(Normalestirip cizersek iyi olur. Bu nasil yapilir sonra aciklayacagim)

Bu egrinin ustune bir de Gauss egrisini cizecegiz. Eger iki egri birbirine benzer ise bu durumda gurultumuz Gauss dagilim gosteriyor demektir.

Peki beyaz gurultu cok farkli bir egri olusturup Gauss egrisine hic benzemeyebilirmiydi?

Evet. Beyaz gurultu Gauss egrisine uymayabilirdi.

Cunku herhangi bir grultunun beyaz gurultu sinifina girmesi icin tum frekenslarda esit guc dagilimina sahip olmasi yeterlidir.

Fakat bu, gurultunun Gauss dagilimi gostermesi icin yeterli degildir.

 

[Mikro Step]

Eger histogram grafimiz asagidaki gibi olsaydi

Gurultu Gauss tipi dagilima sahip degil fakat gene beyaz gurultu.

Eger bir gurultu hem beyaz gurultu sinifina giriyorsa hem de Gauss dagilimi sergiliyorsa bu sinyal Beyaz Gauss tipi sinyal demektir.

Histogram grafigine bakarak gurultunun beyaz gurultu olup olmadigini anlayamayiz. Beyaz gurultu olup olmadigi spektrum grafiginden (duz cizgiden) anlasilir.

Histogram grafigi ise bize gurultunun Gauss dagilimina benzer dagilima sahip olup olmadigini soyler.

Peki biz neden Gauss dagilimi konusuyoruz.

Muhendislikte karsilastigimiz gurultuler cogunlukla Gauss dagilimindadir.

Iste istatistik burda isin icine giriyor.

Gauss dagilimi uzerine istatistiksel hesaplamalar kolaylasiyor.

 

[Mikro Step]

Simdi yavas yavas bazi hesaplamalara girelim.

Bir deneyde ardisil pek cok olcum sonucunda A[n] degerleri ni okumus olalim.

yani

1. olcumde A[1]
2. olcumde A[2]
3. olcumde A[3]
..
..
100. olcumde A[100]

Eger olctugumuz sey degisken degilse olcu aletimizde ideal bir olcu aleti ise olctugumuz tum A[n] degerlerinin ayni olmasi gerekirdi.
Gurultu yada herhangi degisken sinyal A[n] lerin bir birinden farkli olmasina neden olur.

1) Ortalama deger

Tum A[n] olcumlerini toplar ve olcum sayisi N'e bolersek ortalama degeri bulmus oluruz.
Yeterince cok sayida olcum yapildiyse gurultunun ortalamasi 0'a yaklasir ve geriye kalan bir birinin ayni A[n] degerlerinin ortalamasi yani herhangi bir A[n] degeri kalir. (DC bir ofset uzerine bindirilmis gurultunun haliyle ortalamasi da 0 degil DC ofset kadar olacaktir.)

[math] A_{ort}=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N A[n][/math] (P1)

2) Guc yogunlugu

Simdi benzetme yapalim. Olctugumuz buyukluk voltaj ya da akim olsun. Boyle bir buyuklugun gucu, olculen degerin karesi ile orantilidir.
Burdaki gucu elektrik gucu diye dusunmeyin. Sinyalin kudreti diyelim.

(Hatirlarsaniz efektif deger de guc konusundan cikartilmistir. O tanim ardindan voltaj ve akim icin RMS deger hesaplanabilir olmustur.)

O halde herhangi bir buyuklugun A[n] degerlerinin guc yogunlugu, A[n] degerlerinin karelerinin toplaminin ortalamasi olacaktir.
(Ani guc degerlerinden efektif gucu hesaplarken de gucun karesinden yararlandigimizi unutmayin bu nedenle kare ifadesini yadirgamayin)

[math] P_d=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N A[n]^2[/math]
Pd Power density/guc yogunlugu anlaminda

Burda ara not Pd nin karekokunu alirsak alisik oldugumuz RMS degere ulasiriz.

[math] P_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N A[n]^2}[/math]
Simdi bunlar zaten bildigimiz konulardi.

Cok sayida olcum yaptigimizi ve ortalamayi (P1) den hesapladigimizi varsayalim.

Her bir olcum ile ortalama arasindaki fark o olcumdeki sapmayi verecektir.

Mesela ayni buyuklugu 4 kez olcup sira ile 1, 2, 2, 3 degerini okudugumuzu varsayalim. Toplamlari 8, ortalamasi 2 dir.

Sapmayi (deviation) hesaplarsak

1. deneydeki sapma 1-2=-1
2. deneydeki sapma 2-2=0
3. deneydeki sapma 2-2=0
4. deneydeki sapma 3-2=1

her bir olcum ortalama degerden sapmistir.

[math] d_i=A_i - A_{ort}[/math]
Burada di' i'ninci deney sonucundaki sapma
Ai, i'inci deneyin sonucu
Aort yapilan deney sonuclarinin ortalamasi

 

[Mikro Step]

Simdi de ortalama sapmayi hesaplayalim.

Bir deneyi N kere tekrarladik ve N tane sonuc bulduk.

Deney sonuclarinin ortalamasini bulduk. Her bir sonucun ortalamadan ne kadar saptiginitek tek hesapladik.

Simdi de her bir sapmanin ortalamasini bulacagiz.

Yalniz sapmalar bazen + bazen de - oldugu icin bunlarin bir birlerini iyi yonde etkilememesi icin sapmalarin mutlak degerleriyle islem yapacagiz.

Yani ortalama sapma (Mean Absolute Deviation)

[math]MAD=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N |d_i-d_{ort}|[/math]

 

[Mikro Step]

Yahu bunlari neden yaziyorsun MCU ile vs alakayi kuramadim vs diyenler icin

Deney dedigimiz sey aslinda MCU surekli olcum yapiyor ve ADC pinindeki analog degeri olcuyor ya

iste bu olcumlerin herbirisi bir deney sonucu. MCU bir deney yapip ADC ile girisi olcuyor. Sonra bir daha sonra bir daha...

Sonucta bu verilerin duzenliligi gibi konularda yorum yapmak istiyoruz.

Dusunsenize universiyteye baslamissiniz istatistik dersinin ilk dersinde dersi verecek hoca (muhtemelen Matematik yada istatistik uzerine egitim almis akademisyen) bizlere donup arkadaslar ilk dersimize Elektrik profesoru Hilmi Tangozu davet ettim. O sizlere kisa bir sunus yapacak.

Hilmi beyde soyle diyecek;

Arkadaslar merhaba, simdi diyeceksiniz ki istatistik ne alaka bu dersin yerine mesela ADC design dersi koysaniz daha iyi olmaz miydi?

Bakin bir voltmetre yapmak istiyorsunuz ADC yi ve MCU yu bildiginizi varsayiyorum, yaptiginiz her olcum gurultuden dolayi gercek degerinden kayar bu da yapacagimiz olcu aleti benzeri cihazda ekrandaki degerlerin surekli hareket etmesi anlamina gelir.

Biz bir takim istatistik yontemlerle tasarimi nasil yapacagimiza karar verecegiz ve daha dogru olcum cihazi yapmaya calisacagizc. Hataya neden olan gurultuyu matematiksel olarak inceleyecegiz.

O yuzden istatistigi luzumsuz bir ders olarak gormeyin bu dersi hakkiyla ogrenmezseniz yapacaginiz olcu aletlerinden bir bok olmaz. vs vs vs

Sanirim ogrenciler bu derse bir baska gozle bakip istatistik konularini daha cok ogrenme ihtiyaci duyacaklardir.

Bu nedenle dogrudan meslek dersi olmayan temel derslerin ilk dersine, hocanin meslek dersi veren akademisyen bir arkadasini konuk ogretmen olarak davet edip ilk dersi ondan vermesini istemesi bile cok seyi iyilestirir. Tek bir derste tek bir cumle bile insanin hayatini degistirebilir.

Mesela arkadaslar integral, analiz (calculus) dersinin cok onemli bir konusudur. Integrali anlamazsaniz bobin ve kondansator bilginiz havada kalir gibi. Bakin size bir ornek tamamen bos kondansatorun icinden 0.1+sin(ft) seklinde bir akim gecirelim. Kapasitor voltajinin 1sn sonraki degeri nasil bulunur?

Tabiki bazilari kondansatorun ne oldugunu bile bilmeyecek hatta ilk kez duyacak. Ama integral yada turev gibi bir terimi matematik hocasindan duymak ayri bir sey meslek dersi hocasindan duymak ayri.

En azindan ogrenci haaa demekki integral elektrikte kullanilan bir matematiksel islemmis. O zaman bu ne isimize yarayacak diye bir soru sormayayim diyebilecektir.

 

[Mikro Step]

En son Ortalama Sapma/Mean Absolute Deviation (MAD) konusuna bakmistik.

[math]MAD=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N |d_i-d_{ort}|[/math]
Simdi de varyans/variance konusuna bir bakalim.

Her bir olcum icin sapmalari hesapliyorduk. Bu sapmalarin karelerinin toplaminin oratalamasina varyans deniyor.

[math]\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_0^N (A[n]-A_{ort})^2[/math]
Varyansin karekokunu alirsak da standart Sapma (Standard Deviation) buluyoruz.


[math]\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_0^N (A[n]-A_{ort})^2}[/math]
Dikkat: Guc yogunlugu ile varyans bir birine cok benziyor.

Guc yogunlugu olcumlerin karelerinin toplaminin olcum sayisina orani.

Varyans, olcum sonuclarinin, olcumlerin ortalamasi ile farkinin, karelerinin toplaminin olcum sayisina orani.

Eger olcumlerin ortalamasi sifir ise Guc yogunlugu ve Varyans bir birine esit olur.

 

[Mikro Step]

Simdi sayisal ornek yapalim.

Ardisil 8 olcum yapip 2,4,4,4,5,5,7,9 sonuclarin okumus olalim.

Ortalama = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8=40/8=5

Her bir olcum icin sapmalar sirayla -3, -1, -1, -1, 0, 0, +2, +4

Ortalama sapma MAD = (+3 +1 +1 + 1 + 0 + 0 +2 +4)/8=12/8=1.5

Varyans = (9 +1 +1 + 1 + 0 + 0 +4 +16)/8=32/8=4

Standart sapma = Karekok (Varyans) = 2

Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar ortalama uzaklastigini gosteriyor.

Iste burayi kafada canlandirmak zor.

Anlasilir bir ornekle ilerleyelim.

 

[Mikro Step]

Standart sapma, hatanin efektif degeri anlamina geliyor.

Fakat standart sapma halen kafada anlasilir gibi durmuyor.

 

[Mikro Step]

Sanirim bu ornek konuyu biraz daha acikliga kavusturacak.

Iki kisi A ve B ayni deneyi bagimsiz olarak yapiyor olsun.

A: [5, 6, 7, 8, 9]

B: [2, 6, 7, 8, 18]

Sonuclarini elde etsin.

A kisisinin yaptigi deney sonuclarinda ortalama sapma 1.2
B kisisinin yaptigi deney sonuclarinda ortalama sapma 3.2

Cok abarti bir sey yok

Fakat standart sapmaya bakarsak

A kisisinin yaptigi deney sonuclarinda standart sapma 1.41
B kisisinin yaptigi deney sonuclarinda ortalama sapma 6.78

Standart sapmaya bakarak B kisisinin yaptigi deneyde bir terslik oldugu anlasiliyor.

Cunku standart sapmanin kucuk olmasi beklenir.

 

[Mikro Step]

Simdiki konumuz ADC'nin SNR uzerindeki etkisi uzerine olacak.

Sinyal gucumuzun, sinyalin uzerinde barindirdigi gurultunun gucune oraninina A diyelim.

Bu oran ne kadar buyukse sinyal o kadar temizdir.

[math]SNR = 10 log(\frac{P_s}{P_n})[/math]
Simdi gene isin icine guc terimi girdi. Daha once konustugumuz gibi burda da sinyalin voltaj seviyesinden degil sinyalin guc degerinden yola cikiyoruz.

Eger voltaj seviyesi olarak konusacaksak P yerine Vnin karesini koymamiz gerekiyor.

Diyelim sinyalin tepe genliği 1V, sinüs ise:

Sinyalimizin genligi A=1 volt ise

RMS degeri 0.707 volt

Gucu ise RMS kareden 0.5 volt kare olacaktir.

Neyse SNR de gerilim degil guc kullaniliyor devam edelim.

Simdi ADC nin bit sayisi Nasil SNR degerini degistirir ona bakalim.

ADC analog bir sinyali digital degere donustururken kuantalama yapar. Burada qaunda paket anlamina gelir.
Ornegin 8 bit ile 256 kuantalama yapilabilir.

Analog sinyalin herhangi bir andaki degeri bu 256 paketten birisi ile eslesir.

Ornegin 8 bit ADC miz max 2.56V olcuyor olsun.

Bu durumda her bir quanta seviyemiz 2.56/256 dan 10mV olacakti.

Bu durumda analog sinyaldeki degisimler 10mV adimlarla ifade edilir.

ADC’de “kuantasyon gürültüsü” dediğimiz şey, işte bu kuanta büyüklüğündeki adımlardan dolayı sinyalin tam olarak temsil edilememesinden kaynaklanır.

Ornegin ADC grisine 109 mV girersek bu ADC tarafindan 100mV girilmis gibi algilanir arada 9mv luk hata olusur. Bu da sanki sinyalimizde 109mv FAKAT -9mV GURULTU binmis anlamina gelir.

N bitlik bir ADC de analog degisim araligini 2^N adima boler.

[math]\Delta=\frac{V}{2^N}[/math]
Yapilacak quantize hatasi bu degerin yarisi kadar olacaktir.

Yani olculen sinyaldeki hata en fazla

[math]\pm\frac{\Delta}{2}[/math] kadar olacaktir.

O halde uantize hatasina epsilon dersek

[math]-\frac{\Delta}{2}\le\epsilon \le\frac{\Delta}{2}[/math] araliginda uniform olarak dagilacaktir.

Hata uniform olarak dagilmissa hatanin varyansini hesaplayalim.

 

[Mikro Step]

a ve b bir birine quanta seviyemizin yakinliginda iki deger olsun.

Bu durumda b -a = Delta olacaktir.

Eger hata sinyali uniform ise gercekteki sinyalimiz a ve b araliginda herhangi bir degerde olabilir.

[math]-\frac{\Delta}{2}\le\epsilon \le\frac{\Delta}{2}[/math]oldugunu hatirlayalim.

Varyans neydi?

[math]\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_0^N (A[n]-A_{ort})^2[/math]
A[n]-Aort farki en fazla delta/2 oluyor.

toplam olarak degil de integral olarak yazalim.

[math]\sigma^2=\frac{1}{\Delta}\int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} x^2 dx[/math]
[math]\sigma^2=\frac{1}{\Delta}\frac{1}{3} x^3 |_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}}[/math]
[math]\sigma^2=\frac{1}{\Delta}\frac{1}{3}( (\frac{\Delta}{2})^3 -(\frac{-\Delta}{2})^3)[/math]
[math]\sigma^2=\frac{1}{\Delta}\frac{1}{3} \frac{2\Delta^2}{8}[/math]
O halde varyansi

[math]\sigma^2=\frac{\Delta^2}{12}[/math]
olarak buluruz.

Ortalama sifir oldugundan Guc yogunlugu ve varyans esit cikacagindan

Boylece varyansi hesaplamakla gurultunun max guc yogunlugunu bulmus olduk.

ADC araligini dolduran bir sinus sinyalimiz olsun.

[math] A=A*sin(x)[/math]
A tepe degeri Vref/2 olacagindan

RMS deger

[math] A_{RMS}=\frac{A}{\sqrt{2}}=\frac{V_{ref}}{2\sqrt{2}}[/math]
buluruz.

Sinyalimizin gucu bunun karesi olacagindan

[math]P_{Sinyal}=\frac{V_{ref}^2}{8}[/math]
[math]SNR = \frac{P_{Sinyal}}{P_{Gurultu}}[/math]

 

[Mikro Step]

Gurultunun guc yogunlugunu

[math]\frac{\Delta^2}{12}[/math]
olarak bulmustuk.

[math]SNR = \frac{P_{Sinyal}}{P_{Gurultu}}=\frac{\frac{V_{Ref}^2}{8}}{\frac{\Delta^2}{12}}[/math]
[math]\Delta=\frac{Vref}{2^N}[/math]
[math]SNR = \frac{\frac{V_{Ref}^2}{8}}{\frac{\frac{Vref}{2^N}^2}{12}}[/math]
[math]SNR =\frac{12}{8} \frac{\frac{V_{Ref}^2}{8}}{\frac{\frac{Vref}{2^N}^2}{12}}[/math]
[math]SNR =\frac{12}{8} 2^{2N}=1.5*2^{2N}[/math] buluruz.

dB cinsinden yazarsak

[math]SNR_{dB} =10*log(1.5*2^{2N})=10*(log(1.5)+2Nlog(2))[/math]
[math]SNR_{dB} =1.761 + 6.02N[/math]
Simdi de bunu yorumlayalim.

 

[Mikro Step]

Eger N=8 yani 8 bit ADC kullanirsak

ADC den kaynakli 1.761 + 8*6.02 = 49.9 dB sinyal/gurultu orani elde ederiz.

Eger 10 bit ADC kullanirsak 1.761 + 10*6.02 = 61.9 dB ye ulasiyoruz.

12 bit ADC kullandigimizda ise SNR 74 dB degerine ulasiyor.

Bunlar en iyimser durumdaki SNR degerimiz. Yani ADCnin sadece quantize hatasindan kaynakli hesaplanan SNR degerleri.

Kataloglarda opampin detayli ozelliklerini veren tablosunda gürültü yoğunluğunu

[math]\frac{nV}{Hz}[/math] cinsinden veren satir dikkatinizi cekmistir.

Buradan hemen su guzel soruyu sorabiliriz.

8 Bit ADC onune koyacagim opampin kendi gurultusu ne civarda olmali?

 

[Mikro Step]

Ideal durumda ADC kendi basina SNRdB yi 1.761+6.02N olarak belirliyor.

SNR = Psinyal/P Gurultu idi.

ADC onune opamp devresi koydugumuzda opampin getirecegi gurultu (buna Popamp diyelim) ADC gurultusune eklenir.

Bu durumda

[math] SNR = \frac{P_{Sinyal}}{P_{ADC}+P{Opamp}}[/math]
Bu baginti derki Opamp gurultusu artarsa SNR duser.

SNRin goza batacak kadar dusmemesi icin gurultusu dusuk opamp kullanmamiz gerekir ancak bu da maliyeti artirir.

O halde opamp gurultusunu ADC gurultusunun 3dB daha altinda secersek

P_Opamp=P_ADC/2 olmalidir.

Toplam gurultu gucu P_Opamp+P_ADC=P_ADC/2 + PADC = 1.5 P_ADC

Yani 1.5 kez SNR duser.

dB olarak 10log (1/1.5) = -1.76 dB olur.

Bu durumda sececegimiz opampin gurultusu nasil hesaplancak?

Opamp katalogunda gurultu voltajinin spektral yogunluk parametresi (e) V/Karekok(Hz) olarak veriliyor.

Band genisligimiz BW ise

[math] v_{rms}=e\sqrt{BW}[/math]
Bu durumda

[math] p_{rms}=e^2 * BW[/math]
Önceki hesapları ve degerlerimizi hatırlayalim

Vref=2.56 V, N=8, Δ=0.01 V

Kuantizasyon gürültü gücü: Pq=Δ^2/12 =8.3333×10^−6 V^2

Hedef kuralımız: önamp gürültüsünü kuantizasyon gücünün en fazla yarısı olacakti.

Pn ≤ Pq/2 =4.1667×10^−6 V^2

Beyaz gürültü varsayımı altında Pn=en^2×BW Istenen gürültü spektral yoğunluğu

[math]en = \sqrt{\frac{Pn}{BW}}[/math]

BW (Hz)	[math] e (\frac{V}{\sqrt{Hz}})[/math]	[math] e (\frac{nV}{\sqrt{Hz}})[/math]
1KHz	[math] \sqrt{\frac{4.1667*10^{-6}}{1000}}[/math]=6.4549*10^-5	64549
50KHz	[math] \sqrt{\frac{4.1667*10^{-6}}{50000}}[/math]=9.1287e^-06	9129

Ornegin LM358 icin bakarsak en=40 nV/Hz

1Khz icin 64549/40=1613 kat yani LM358, 8 bit uygulamalarda quantize hatalarinin neden oldugu gurultu acisindan !!! fazlasiyla yeterli.

Tabiki Opamp seciminde tek kriter bu degil. Bu sadece SNR acisindan bir inceleme.

16 Bit ADC icin hesaplamaya da siz bakabilirsiniz.

 

[Mikro Step]

Opamp	1Khz band genisligi icin Gurultu yogunlugu (nV/√Hz)
LM358	40
TL072	18
OP07	10
OPA134	8
OPA227	3
AD743	2.9