Benim yaklaşımımın hatası şu, ben kısa yoldan çözüm düşünürken integralin tanımını karıştırdım gibi oldu.
[math]\int^a_b f(x)dx[/math]dediğimiz zaman bu aslında şöyle ifade edilebilir
[math]\int^a_b f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \Delta x*f(a+\Delta x*i)[/math][math]\Delta x = \frac{b-a}{n}[/math]
Şimdi böyle bakıldığı zaman Bize aslında lazım olan ne n i sonsuza götürmek yerine bir sayı koymak, zaten bu şekilde integralin çözdüğüne yaklaşabiliriz. Ama sıkıntı ne ben f(x) leri toplamak istiyorum, neden bir de deltax ile çarpıp alana gideyim? gitmemeliydim. Bizim çözmek istediğimiz sorun aslında şu
[math]\sum_{x=0°}^{180°}sin(x)[/math]
Madem hata yaptık integral ile max değeri bulmaya çalışıp hatamı fark ettim, düzelteyim de. Ancak bence geometriden bir incelemek lazım. Neyse elimizde bir toplam var, bunu integrale benzetmeye çalışalım.
[math]\sum_{x=0°}^{180°}sin(x) = \sum_{x=0}^{180}sin(x*\frac{\pi}{180})[/math]
Bunu yapmamın sebebi açı sembolü yazıp durma derdinden kurtulalım.
[math]\sum_{x=0}^{180}sin(x*\frac{\pi}{180}) = \frac{180}{\pi}* \sum_{x=0}^{180}sin(x*\frac{\pi}{180})*\frac{\pi}{180}[/math]
Şimdi ne oldu sum ın içinde hem f(x) içinde çarpım şeklinde olan bir terimi dışında da oluşturdum. Şöyle desek
[math]\Delta{x}=\frac{\pi}{180}[/math]
Toplam ne hale gelir?
[math]\frac{180}{\pi}* \sum_{x=0}^{180}sin(x*\Delta{x})*\Delta{x}[/math]
Baştaki terimi görmeyin şimdilik sadece toplama bakın, içerisi verdiğimiz integral tanımına uygun ancak sıkıntı ne bizim toplam sonlu, sonsuz değil. Ama şunu biliyoruz biz, bizim bu terimler hep pozitif, yani eksik toplama yapsak bulacağımız değer daha küçük olur. O zaman o kısmı alıp integrale çevirsek, gerçek sonuçtan daha büyük sonuç bulur muyuz? Bence evet.
[math]\sum_{x=0}^{180}sin(x*\Delta{x})*\Delta{x} < \int_{0}^{\pi}sin(x)dx=2[/math][math]\frac{180}{\pi}\sum_{x=0}^{180}sin(x*\Delta{x})*\Delta{x} < \frac{180}{\pi}\int_{0}^{\pi}sin(x)dx=\frac{360}{\pi}[/math]
O zaman ne diyebilirim artık. Bizim değer 360/pi den ufak.
Bu hesapta da hata vardır kesin, ama güzel bir ders aldım bir kaç şey hatırladım güzel oldu
[math]\int^a_b f(x)dx[/math]dediğimiz zaman bu aslında şöyle ifade edilebilir
[math]\int^a_b f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \Delta x*f(a+\Delta x*i)[/math][math]\Delta x = \frac{b-a}{n}[/math]
Şimdi böyle bakıldığı zaman Bize aslında lazım olan ne n i sonsuza götürmek yerine bir sayı koymak, zaten bu şekilde integralin çözdüğüne yaklaşabiliriz. Ama sıkıntı ne ben f(x) leri toplamak istiyorum, neden bir de deltax ile çarpıp alana gideyim? gitmemeliydim. Bizim çözmek istediğimiz sorun aslında şu
[math]\sum_{x=0°}^{180°}sin(x)[/math]
Madem hata yaptık integral ile max değeri bulmaya çalışıp hatamı fark ettim, düzelteyim de. Ancak bence geometriden bir incelemek lazım. Neyse elimizde bir toplam var, bunu integrale benzetmeye çalışalım.
[math]\sum_{x=0°}^{180°}sin(x) = \sum_{x=0}^{180}sin(x*\frac{\pi}{180})[/math]
Bunu yapmamın sebebi açı sembolü yazıp durma derdinden kurtulalım.
[math]\sum_{x=0}^{180}sin(x*\frac{\pi}{180}) = \frac{180}{\pi}* \sum_{x=0}^{180}sin(x*\frac{\pi}{180})*\frac{\pi}{180}[/math]
Şimdi ne oldu sum ın içinde hem f(x) içinde çarpım şeklinde olan bir terimi dışında da oluşturdum. Şöyle desek
[math]\Delta{x}=\frac{\pi}{180}[/math]
Toplam ne hale gelir?
[math]\frac{180}{\pi}* \sum_{x=0}^{180}sin(x*\Delta{x})*\Delta{x}[/math]
Baştaki terimi görmeyin şimdilik sadece toplama bakın, içerisi verdiğimiz integral tanımına uygun ancak sıkıntı ne bizim toplam sonlu, sonsuz değil. Ama şunu biliyoruz biz, bizim bu terimler hep pozitif, yani eksik toplama yapsak bulacağımız değer daha küçük olur. O zaman o kısmı alıp integrale çevirsek, gerçek sonuçtan daha büyük sonuç bulur muyuz? Bence evet.
[math]\sum_{x=0}^{180}sin(x*\Delta{x})*\Delta{x} < \int_{0}^{\pi}sin(x)dx=2[/math][math]\frac{180}{\pi}\sum_{x=0}^{180}sin(x*\Delta{x})*\Delta{x} < \frac{180}{\pi}\int_{0}^{\pi}sin(x)dx=\frac{360}{\pi}[/math]
O zaman ne diyebilirim artık. Bizim değer 360/pi den ufak.
Bu hesapta da hata vardır kesin, ama güzel bir ders aldım bir kaç şey hatırladım güzel oldu
