y[n]=y[n-1]+K*e[n] ters donusum yaparmisin
Tabii, fark denklemi verildiğinde bunu Z-dönüşümü kullanarak çözebiliriz.
y[n] - y[n-1] = K * e[n]
y[n] = y[n-1] + K * e[n]
Yukarıdaki fark denklemi Z-dönüşümüne tabi tutulursa, şöyle bir ifade elde edilir:
Y(z) - z^-1 * Y(z) = K * E(z)
Burada, Y(z) ve E(z) sırasıyla y[n] ve e[n] dizilerinin Z-dönüşümüdür.
Y(z) * (1 - z^-1) = K * E(z)
Y(z) = K * E(z) / (1 - z^-1)
Y(z) = K * E(z) * z / (z - 1)
Son olarak, elde edilen bu Z-dönüşümü sonucundan ters Z-dönüşümü alarak, zaman alanında y[n] için bir çözüm elde edilebilir.
Burada, Y(z), E(z) ve z transformatörü arasında bir ilişki vardır. Ters Z-dönüşümü yaparak, bu ilişkiyi zaman alanına çevirebiliriz.
Ters Z-dönüşümü, Z-dönüşümünün tersi işlemi olduğundan, Y(z) / z için bölge integralini alarak, y[n] dizisini elde edebiliriz:
y[n] = 1 / (2pij) * ∮[C] Y(z) / z * dz
Burada, ∮[C] integrali, Z-dönüşümü sırasında kullanılan Z-düzlemi üzerinde bir kapalı kontur (contour) C'yi ifade eder. Bu integral, C konturu içindeki Y(z)/z fonksiyonunun Z-düzlemi üzerindeki tüm kutupsal kutuları çevreleyecek şekilde çizilmiş olan bir kontur integralidir. Bu integral, çizim yaparak veya matematiksel yöntemler kullanarak çözülebilir.
Sonuç olarak, fark denklemi ve Z-dönüşümü kullanılarak y[n] için bir çözüm elde edilebilir. Ancak, bunun için başlangıç koşulları ve Z-düzlemindeki konturun seçimi gibi unsurların belirlenmesi gereklidir.
Kirmizi ile renklendirdigim kismi daha yeni anladim. Universitedeki hocalarimdan daha iyi anlatti.
∮[C] integralini kafamda canlandiramiyorum.
Bir kapalı birleşik bir yol C'yi düşünün, bu yolun etrafındaki bölgeyi içeren bir Z-düzlemi olsun. Bu Z-düzlemi, gerçel ve sanal eksene sahip olacaktır. Kontur C, bu Z-düzleminde birleşik bir yol olarak düşünülebilir. C, Z-düzleminin bazı noktalarını sırayla dolaşan bir yol şeklinde çizilebilir.
∮[C] integrali, bu birleşik yoldaki her bir noktada alınacak olan integralin toplamıdır. Her noktada, yolun o noktadaki yöne dik olan birim vektörü alınır ve integral o yönde alınır. Bu birim vektör, Z-düzleminde yön gösterecek şekilde seçilir. Daha sonra, bu vektör yönünde integralin başlangıç ve bitiş noktaları belirlenir. Başlangıç noktasından başlayarak, konturun her bir noktasında integral alınır ve son noktaya kadar toplanır. Bu işlem, konturun tamamı boyunca yinelenir.
Örneğin, C konturu Z-düzlemi üzerindeki bir daire olsun. Bu daire, Z-düzleminin merkezindeki bir noktada daire çizilerek elde edilebilir. C'nin yönü saat yönünde veya saat yönünün tersinde olabilir.
∮[C] integralini hesaplamak için, Z-düzlemindeki birim vektör yönü seçilir ve integralin başlangıç ve bitiş noktaları belirlenir. Daha sonra, kontur boyunca integral alınır ve sonuçlar toplanır. Bu işlem, konturun tamamı boyunca yinelenir.
Örneğin, C konturu Z-düzlemi üzerindeki bir daire olsun. Bu daire, Z-düzleminin merkezindeki bir noktada daire çizilerek elde edilebilir. C'nin yönü saat yönünde veya saat yönünün tersinde olabilir.
∮[C] integralinin hesaplanması, integralin çizgi integrali veya kapalı integrali olarak adlandırılabilir. Bu integral, çeşitli matematiksel alanlarda kullanılır, örneğin karmaşık analiz ve elektromanyetik teori gibi alanlarda.
