Z donusumu

[Mikro Step]

Zaman buldukca yazacagim. Bu yazi rengini bana birakirsaniz sevinirim.

f(t) fonksiyonumuz t nin (zamanin) her bir aninda deger uretir.

Eger biz f(t) sinyalinden T gibi sabit zaman araliklarinda ornekler alirsak sinyalimizi T peryoduyla orneklemis oluruz.

Ornekleme frekansimiz Fs=1/T olur.

Bu durumda f(t) sinyalimizden okunan degerler f[nT] degerleri olacaktir.

Mesela sin(2*pi*50*t) fonksiyonumuzdan saniyede 1000 olcum alacaksak ornekleme zamanimiz T=1ms olacak ya da ornekleme frekansimiz 1000 Hz olacak demektir.

Mesela sin(2*pi*50*t) fonksiyonumuzun

0 aninda, 0.001 sn ve 0.002 sn anlarindaki degerleri

sin(0)=0
sin(2*pi*50*0.001)=0.30901
sin(2*pi*50*0.002)=0.58778
sin(2*pi*50*0.003)=0.80901 olur.

Biz sin(2*pi*50*t) yerine sin(2*pi*50*nT) yazar T=0.001 alirsak sin(2*pi*50*0.0001*n) haline gelir.

Bu durumda 0'inci 1'inci ve 2'inci orneklerimiz gene

sin(0)=0
sin(2*pi*50*0.001*1)=0.30901
sin(2*pi*50*0.001*2)=0.58778
sin(2*pi*50*0.001*3)=0.80901 olacaktir.

y(t)=sin(at) fonksiyonu digital domende daha dogrusu ayrik zaman sisteminde y[nT]=sin[anT] sekline donusur ve cogu zaman y[nT] deki T harfi yazilmaz.

Bu durumda

y[n]=sin[anT] seklinde gosterilir.

normal dunyamizda t manyak kucuk (sonsuz kucuk) degerler alirken ayrik zamanda n=0,1,2,3,4,5 seklinde tam degerler alir.
Bunun zaman karsiligi da n*T olacaktir.

Bir fonksiyona baktiginizda (t) gorurseniz bu fonksiyonun analog bir fonksiyon, [nT] yada [n] gorurseniz bunun ayrik zaman fonksiyonu oldugunu anlarsiniz.

Mesela analog sinyal
[math]y(t)=e^{-at}[/math]
Mesela digital sinyal
[math]y[n]=e^{-anT}[/math]

 

[Mikro Step]

Simdi 10V luk DC sinyalden ornekler aldigimizi varsayin.

T onemli degil. n=0,1,2,3,4,5, .... icin y[n] degerlerimiz

y[0]=10
y[1]=10
y[2]=10
y[3]=10
y[4]=10
y[5]=10
.
.
olacaktir. Grafigi ise asagidaki gibidir.

Simdi de Dirac Delta fonksiyonundan bahsedelim. n=0 icin degeri 1 olan, diger tum n degerleri icin ise degeri sifir olan fonksiyona Dirac Delta fonksiyonu denir. (Dirac fonksiyonu daha farkli bir seydir fakat ayni sembolle gosterilir neyseki Dirac fonksiyonu analog sistemlerde, Dirac Delta fonksiyonu ise Digital sistemlerde kullanildigi icin karmasa olusturmaz.)

Dirac Delta fonksiyonu asagidaki gibi gosterilir.

[math]\delta[/math]

Aslinda

[math]\delta=\delta[nT][/math]
dir fakat n=0 haricinde fonksiyon sifir oldugu icin

[math]\delta[/math]
yaziyoruz.

Simdi de oteleme isleminden bahsedelim.

y[n] sinyalimiz

n=2 de 5 degeri aldin.
n=3 de 6 degeri alsin.
n=4 de 3 degeri alsin.

eger y[n-1] yaparak oteleme yaparsam

n=3 de y[3-1]=y[2]= 5 degeri alir.
n=4 de y[4-1]=y[3]= 6 degeri alir.

Gordugunuz gibi zamanda kaydirma/oteleme yaptik.

Simdi de Dirac Delta fonksiyonunu oteleyelim.

Gordugunuz gibi Delta fonskiyonumuzu 1 ve 2 sample saga kaydirdim.

Normalde n=0 da Deltamiz 1 degeri aliyor diger n degerleri icin 0 oluyordu.

n-1 yazinca ancak n=1 olursa 1-1 sifir olur ve n=1 de dirac fonksiyonu 1 deger verir n=1 haricinde her yerde 0 olur.
n-2 yazinca ancak n=2 olursa 2-2 sifir olur ve n=2 de dirac fonksiyonu 1 deger verir n=2 haricinde her yerde 0 olur.

Bu kisim anlasildi ise isimiz kolaylasti.

Simdi de z oteleme fonksiyonundan bahsedelim.

[math] z^{-1}[/math]
gordugunuzde sinyalin o anki degerini 1 birim ileriye kaydirmak diye anlayin.

[math] z^{-2}[/math]
gordugunuzde sinyalin o anki degerini 2 birim ileriye kaydirmak diye anlayin.

 

[Mikro Step]

Simdi su fonksiyona bir bakalim.

[math]\sum_{n=0}^\infty{z^{-n}}[/math]
Bunun ;

Dirac Delta fonksiyonunun 0 dan sonsuza kadar tek tek kaydirilmasi ve toplanmasi olarak gorebildiniz mi?

Bunun ayni zamanda 1v luk DC sinyalin sample alinmasi ile ayni sey oldugunu da gordunuz mu?

Goremediyseniz basligin en basina geri donup tekrar okuyun.

Z donusumu nedir?

y(t) sinyalimizin Z donusumu su sekilde tanimlanir.

[math]Z\{y_{(t)}\}=y_z=\sum_{n=0}^\infty{z^{-n}y_{[nT]}}[/math]

O halde 10v luk basamak fonksiyonumuzun Z donusumunu bulalim.

y[nT]=10 oldugundan

[math]Z\{y_{[nT]}\}=y_z=\sum_{n=0}^\infty{z^{-n}10}=10\sum_{n=0}^\infty{z^{-n}}[/math]
[math]y_z=10*(z^0 +z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}+z^{-5}+z^{-6}+.....[/math]
Asagidaki seriyi goz onune alalim.

[math]S=1 +z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}+z^{-5}+z^{-6}+.....[/math]
Bu seriyi asagidaki gibi yazalim.

[math]S=1 +z^{-1}(1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}+z^{-5}+z^{-6}+.....[/math]
Simdi dikkat edin

[math]S=1 +z^{-1}S[/math]
Tabiki bunu sadece yakinsak seriler icin yapabiliriz ve neyseki bizim sinyallerimizden elde edilen serilerin neredeyse hepsi yakinsanktir.

[math]S-z^{-1}S=1[/math]
[math]S(1-z^{-1})=1[/math]
[math]S=\frac{1}{1-z^{-1}}[/math]
o halde

[math]y_z=\frac{10}{1-z^{-1}}[/math]
Bu 10V DC voltajin Z domenine yansimasidir.

Yada 10V DC voltajin Z donusumudur deriz.

Bu durumda 1v DC voltajin Z donusumu

[math]y_z=\frac{1}{1-z^{-1}}[/math] olacaktir.

 

[Mikro Step]

Simdi de

[math]y(t)=a^{-t}[/math]
fonksiyonunun Z donusumunu yapalim.

[math]y_z=\sum_{n=0}^\infty{z^{-n}*a^{-nT}}[/math][math]y_z=\sum_{n=0}^\infty{(za^T)^{-n}}[/math][math]y_z=\frac{1}{1-{a^{-T}}z^{-1}}[/math]Bu durumda

[math]y(t)=e^{-at}[/math]
fonksiyonumuzun Z donusumu

[math]y_z=\frac{1}{1-{e^{-aT}}z^{-1}}[/math]
[math]y(t)=e^{at}[/math]
fonksiyonumuzun Z donusumu

[math]y_z=\frac{1}{1-{e^{aT}}z^{-1}}[/math]

 

[Mikro Step]

Simdi de sin(at) ve cos(at) fonksiyonlarinin Z donusumunu yapalim.

Bunun icin donusum yapmaya gerek yok.

Euler'den
[math]sin(at)=\frac{e^{ajt}-e^{-ajt}}{2j}[/math][math]cos(at)=\frac{e^{ajt}+e^{-ajt}}{2}[/math]
den yararlanabilir ve daha once hesapladigimiz e^at ve e^-at donusumlerini kullanabiliriz.

[math]Z\{sin{(at)}\}=Z\{\frac{e^{at}-e^{-at}}{2j}\}[/math]
[math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{1}{2j}(\frac{1}{1-{e^{ajT}}z^{-1}}-\frac{1}{1-{e^{-ajT}}z^{-1}})[/math]
Biraz islem yapalim

[math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{1}{2j}\frac{ 1 - e^{-ajT} -1 +e^{ajT}}{1-e^{-ajT}z^{-1}-e^{ajT}z^{-1}+z^{-2}}[/math]
[math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{\frac{z^{-1}(e^{ajT}-e^{-ajT})}{2j}}{z^{-2}-z^{-1}(e^{ajT}+e^{-ajT})+1}[/math]
[math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{z^{-1}sin(aT)}{z^{-2}-2z^{-1}cos(aT)+1}[/math]
cos(aT) icin benzer islemleri yapmayacagim

[math]Z\{cos{(at)}\}=\frac{1-z^{-1}cos(aT)}{z^{-2}-2z^{-1}cos(aT)+1}[/math]

 

[Mikro Step]

Simdi @devreci nin harmonik osilatorunu hesaplayalim.

Oncelikle numerik islemlerle yapilan harmonik osilatorde kesme ve yuvarlama hatalarindan dolasi elde edilen sinusel sinyal sifir harmonikli degildir.
Gorsel olarak uretilen sayi dizisinin grafiginin sinuse cok benziyor olmasi yaniltmasin.

Simdi bir onceki yazimizda buldugumuz sinus fonksiyonunun Z donusumunu yazalim.

[math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{z^{-1}sin(aT)}{z^{-2}-2z^{-1}cos(aT)+1}[/math][math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{z^{-1}S}{z^{-2}-z^{-1}C+1}[/math]
Burada sin(aT) ve cos(aT) terimlerini goruyoruz.

Burada a acisal frekans ve a=2*pi*F

Oncelikle float sayilarla gercekleyelim. Sonrasinda da integer sayilarla yapalim.

F=1Hz alalim. Sample almak frekansimizi 100Hz aliyorum. isterseniz cok daha yuksek de secebilirsiniz.

a=2*pi*1/100 olur.

[math]S=sin(2*pi*1/100)=0.06279[/math]
[math]C=2cos(2*pi*1/100)=1.9960[/math]
Eger sample alma frekansimizi cok yukseltirsek S sifira, C de 2 ye yaklasacak.
@devreci sana odev: yazdigin iki satir program parcacigi ile sadece 100 nokta ile sinus grafigi cizdirmeyi dene. Yani arada binlerce hesap yaptirma.

[math]Z\{sin{(at)}\}=\frac{z^{-1}S}{z^{-2}-z^{-1}C+1}[/math]
Yukaridaki sinyali Dirac Delta ile durtecegiz. Oncelikle fark denklemine gecelim.

Cikis buyuklugumuz y, giris buyuklugumuz ise r olsun.

[math]y_z=r_z\frac{z^{-1}S}{z^{-2}-z^{-1}C+1}[/math]
y[n-2]-Cy[n-1]+y[n]=Sr[n-1]

y[n]=Sr[n-1] + Cy[n-1] - y[n-2]

n=0 daki hesaplamalar icin y[-1] ve y[-2] degerlerine ihtiyacimiz var. r[-1]=0 r[0]=1 r[1,2,3,....]=0

oldugu icin biraz kolaylik adina

n=1 den baslatalim boylece r=1 alabiliriz.
y[n] ve y[n-1] lazim.

y[n]=sin(0)
y[-1]=-sin(2*pi*1/10000)=-0.06279
O halde
Asagidaki islemleri istediginiz dilde kodlayin.

          r:=0.06279;
          y1:=0;
          y2:=-r;
          for x:=0 to 100 do
            begin
               y:=r + 1.9960*y1 - y2;
               y2:=y1;
               y1:=y;
               r:=0;
               form1.Canvas.Pixels[x,400-trunc(y*100)]:=clgreen;
            end;

y size bir periyodu 100 noktadan olusan sinus degerlerini uretecek.

 

[Mikro Step]

Simdi asagidaki denklemi daha az kodla yazmaya calisalim

          r:=0.06279;
          y1:=0;
          y2:=-r;
          for x:=0 to 100 do
            begin
               y:=r + 1.9960*y1 - y2;
               y2:=y1;
               y1:=y;
               r:=0;
               form1.Canvas.Pixels[x,400-trunc(y*100)]:=clgreen;
            end;

Bu birinci asamadaki kisaltma

          y1:=0.12558;
          y2:=0;
          for x:=0 to 100 do
            begin
               y:=1.9960*y1 - y2;
               y2:=y1;
               y1:=y;
               form1.Canvas.Pixels[x,400-trunc(y*100)]:=clgreen;
            end;

 

[devreci]

Tebrikler ama bunu ben bulmadan önce bulacaktın benimkinde de istediğimiz sayıda nokta var exelere bakabilirsin.

Aslında çok daha basit açıklaması var, sinusun türevi nedir cosdur cos(x/100) turevi = sin(x/100)/100 dür , aynı zamanda da cos turevi sin dir. Yapılan iş türevlerini alarak birbirine topluyoruz bu kadar basit


İstediğimz dereceye atlamak ile ilgili bişey çıkmadı . sin(2x)=2cos(x)*sin(x) buradan bişeyler çıkar mı ? iki katını ala ala gitsek ?


Z{sin(at)}=Z{2jeat−e−at} bu formul nedir bunu anlamadım sin = e üzeri ....

 

[Mikro Step]

Bu yillardir bilinen bir sey. Belki de taa Laplace'a dayanir.

Bu matematigi kullanan ve modern araclardaki kemeriniz takili degil uyarisi sesi ile ilgili bir videoyu 10 sene once cekmis ve bununla ilgili C kodunu bizim eski forumda yayinlamistim.

Videodaki ses sin ve exp fonksiyonu kullanmadan numerik tekniklerle uretildi.

 

[devreci]

Zamanında çok aramıştım sin şekli veren birşey bulamamıştım demek programcılar bilmiyor.

Bu euler dönüşümünü çizdirdim sin cos ile alakası yok , sadece yükselen alaçalan kenarını verse yeter.

 

[Mikro Step]

Euleri gercek dunyada nasil kullanacaksin. Orda j sayisi var.

 

[Mikro Step]

Bu tur numaralari programcilar bilmez. Asil uzmanlari Kontrol Muhendisliginden, Sinyaller ve Sistemler le ilgili muhendisliklerden cikar.
Elektronik muhlerden de tek tuk cikar.