Yarim Dalga ve Tam Dalga Dogrultma Isleminde Olusan Harmonikler

[Mikro Step]

y=sin(x) fonksiyonumuz var.
Bunu yarim dalga dogrulttugumuzda

y=sin(x) {x>=0 ....x<pi}
y=0 {x>=pi ..x<2pi}

olarak yazabiliriz.

Bu fonksiyonun Fourier acilimini analitik olarak yapalim. (Dogrudan sonucu veren matematik sitelerinden yardim almak yerine bu islemleri elle yapacagim)

Ancak o kadar hata yapmaya musait ki cozume ulasmam bir kac gunu alabilir.

$$A_o=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}sin(\theta)d\theta=\frac{2}{\pi}$$
$$A_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}sin(\theta)cos(n\theta)d\theta$$
$$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$$$$sin(a-b)=sin(a)cos(b) -sin(b)cos(a)$$$$sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)$$$$sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}(sin(a+b)+sin(a-b))$$$$A_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}sin(\theta)cos(n\theta)d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}(sin(\theta+n\theta)+sin(\theta-n\theta))d\theta$$
$$A_n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}(sin((n+1)\theta)-sin((n-1)\theta))d\theta$$$$A_n=\frac{1}{2\pi}(-\frac{cos((n+1)\theta)}{n+1}+\frac{cos((n-1)\theta)}{n-1})|_0^\pi$$$$A_n=\frac{1}{2\pi}(\frac{cos((n-1)\pi) -1}{n-1}-\frac{cos((n+1)\pi)-1}{n+1})$$
n tek ise An=0 oluyor. Dolayisi ile An i sadece n cift degerler icin hesaplayacagiz.

$$B_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}sin(\theta)sin(n\theta)d\theta$$$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$$$-cos(a+b)=-cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$$$-cos(a+b) + cos(a-b)=2sin(a)sin(b)$$$$sin(a)sin(b)=\frac{1}{2}(cos(a-b)-cos(a+b) )$$$$sin(x)sin(nx)=\frac{1}{2}(cos(x-nx)-cos(x+nx) )$$$$sin(x)sin(nx)=\frac{1}{2}(cos((1-n)x)-cos((1+n)x))$$$$B_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}(cos((1-n)\theta)-cos((1+n)\theta))d\theta$$$$B_n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}(cos((1-n)\theta)d\theta-\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}cos((1+n)\theta))d\theta$$$$B_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}sin((1-n)\theta)|_0^\pi-\frac{1}{2\pi(1+n)}sin((1+n)\theta))|_0^\pi$$$$B_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}sin((1-n)\pi)-\frac{1}{2\pi(1+n)}sin((1+n)\pi)$$
n=1 icin bir terslik var diger tum n degerleri icin Bn katsayisi 0.

n=1 icin ilk integrali cozelim.

$$B_1=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}sin(\theta)sin(\theta)d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}(1-cos(2\theta))d\theta=\frac{1}{2}$$
Artik herhangi bir n degeri icin An katsayisini dogrudan hesaplayabiliriz.

$$A_2=-\frac{2}{3\pi}$$$$A_4=-\frac{2}{15\pi}$$$$A_6=-\frac{2}{35\pi}$$$$A_8=-\frac{2}{63\pi}$$

$$y=\frac{A_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infin} A_ncos(k\theta)+\sum_{k=1}^{\infin} B_nsin(k\theta)$$
Ilk 8 harmonik icin

$$y=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}sin(\theta) -\frac{2}{3\pi}cos(2\theta)-\frac{2}{15\pi}cos(4\theta)-\frac{2}{35\pi}cos(6\theta)-\frac{2}{63\pi}cos(8\theta)$$

 

[Mikro Step]

Evet arkadaslar islem hatasi yapmaya cok musait hesaplamalar ardindan yarim dalga dogrultulmus gerilimin Fourier acilimi, 8. harmonige kadar asagidaki gibi oluyor.

$$y=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}sin(\theta) -\frac{2}{3\pi}cos(2\theta)-\frac{2}{15\pi}cos(4\theta)-\frac{2}{35\pi}cos(6\theta)-\frac{2}{63\pi}cos(8\theta)$$
Gorulecegi uzere ne 3. harmonik ne de diger tek harmonikler var.

 

[Mikro Step]

Bu şekilde ne kadar hesaplarsanız hesaplayın herhangi bir harmonik elde edemezsiniz. Sinüs dalgalarla çalışıyorsunuz, harmonik olması için sinüs dalgada bozulmalar olması gerekli.

Size tavsiyem bir simülasyon programında trafo, yarım-tam dalga doğrultucu ve çıkış kapasitörünü modelleyin, bu devreye lineer olmayan bir yük bağlayın, ondan sonra ölçüm alın. Sinüs dalganın bozulmuş olduğunu göreceksiniz. Simülasyonda elde ettiğiniz dalgaya FFT uygulayıp harmonikleri görün. Devredeki elemanları ideal kullanmayın, gerçekte nasılsa o şekilde modelleyin veya hazır modellenmiş halini bulun. Bir de benim fikrim bu hesapları elle yapmanın bir anlamı yok, nasıl yapılacağını öğrenmek istiyorsanız öğrenin ama bu hesapları yapan programlar varken kendinize eziyet etmeyin. Kolay gelsin

Neden dogrultucu devresinde harmonik elde edemeyesin? Bak yukarida elde ettik iste.

Devreye diyod baglanmis ve yari alternansi ucurmusuz iste. Bu yeterince nonlineer durum olusturmamis mi?

Bu sekilde yanlis bilgi verecekseniz lutfen tavsiyede bulunmayiniz.

 

[Robotik]

Neden dogrultucu devresinde harmonik elde edemeyesin? Bak yukarida elde ettik iste.

Devreye diyod baglanmis ve yari alternansi ucurmusuz iste. Bu yeterince nonlineer durum olusturmamis mi?

Bu sekilde yanlis bilgi verecekseniz lutfen tavsiyede bulunmayiniz.

Evet haklısınız, nedense konuya yazarken yanlış düşünmüşüm, insanlık hali kusuruma bakmayın.
Bundan sonra uzman olmadığım konularda yazmam.

 

[Mikro Step]

Bir de asagidaki dalga seklinde olusan harmoniklere bakalim.

Bu ornek te sinus fonksiyonu temelli oldugundan daha once hesapladigimiz integralleri bir daha yazalim.

$$I_1=\int_a^{b}sin(\theta)d\theta$$$$I_2=\int_a^{b}sin(\theta)cos(n\theta)d\theta$$$$I_3=\int_a^{b}sin(\theta)sin(n\theta)d\theta$$
$$I_1=-cos(\theta)|_a^{b}$$$$I_2=\frac{1}{2}(-\frac{cos((n+1)\theta)}{n+1}+\frac{cos((n-1)\theta)}{n-1})|_a^b$$$$I_3=\frac{1}{2}(-\frac{sin((n+1)\theta)}{n+1}+\frac{sin((n-1)\theta)}{n-1})|_a^b$$
Devam edecek.